会计学证明:设f是仿射点变换,I:[O;e1,e2]是平面仿射坐标系,平面上任(shàngrèn)一点P在I中的坐标为(x,y),P在f下的像f(P)在I中的坐标为(x,y).则I到II的坐标变换(biànhuàn)公式为反之,如果平面的一个点变换f在一个仿射坐标系中的公式为(4.3),且其系数矩阵(jǔzhèn)A=(aij)是可逆矩阵(jǔzhèn),则f显然是可逆变换,其逆变换f1可由下式给出由假设(jiǎshè),像点f(A),f(B),f(C)在I中的坐标分别为=0.注:1.若平面的仿射点变换(biànhuàn)f在一个仿射坐标系中的公式为2.仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵就是I到f(I)的过渡矩阵,因此它的两个(liǎnɡɡè)列向量分别为I的坐标向量e1,e2的像f(e1),f(e2)在I中的坐标.4.对仿射向量变换公式(gōngshì)的理解:例1已知在仿射坐标系I中,仿射变换f的点变换公式(gōngshì)为方法(fāngfǎ)2.(待定系数法)方法(fāngfǎ)3.例2在仿射坐标系I中,仿射变换(biànhuàn)f把直线x+y1=0变为2x+y2=0,把直线x+2y=0变为x+y+z=0,把点(1,1)变为(2,3),求f在I中的变换(biànhuàn)公式.2(a11x+a12y+b1)+(a21x+a22y+b2)2=0再由f把点(1,1)变为点(2,3)得到(dédào)方法2.把点(x,y)经过(jīngguò)变换得到的像点的坐标x,y看作x,y的函数,用条件来决定变换公式.直线(zhíxiàn)x+y+1=0的原像是x+2y=0,例3(P207.1)证明:在任何仿射坐标系中,位似变换(biànhuàn)的变换(biànhuàn)矩阵都是数量矩阵kE,其中k是位似系数.反之,如果一个仿射变换(biànhuàn)在某个仿射坐标系中的变换(biànhuàn)矩阵是数量矩阵kE,其中k1,则它一定是位似变换(biànhuàn).Mf(P)=kMP反之,设仿射变换f在某个仿射坐标系I中的变换矩阵是数量(shùliàng)矩阵kE,其中k1,设其变换公式为3.2变换矩阵(jǔzhèn)的性质引理设I1和I2是平面上的两个仿射坐标系,它们(tāmen)分别被仿射变换f变为II1和II2,则I1到I2的过渡矩阵与II1到II2的过渡矩阵相同.性质1.若仿射变换(biànhuàn)f把坐标系I变成II,则f在II中的变换(biànhuàn)矩阵就是f在I中的变换(biànhuàn)矩阵.性质2.若仿射变换(biànhuàn)f,g在仿射坐标系I中的变换(biànhuàn)矩阵分别为A,B,则它们的乘积g◦f在I中的变换(biànhuàn)矩阵为BA.性质(xìngzhì)3.若仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵为A,则它的逆变换f1在I中的变换矩阵为A1.性质(xìngzhì)4表明:同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵相似,并且可用这两个坐标系间的过渡矩阵实现这个相似关系.则f(e1)f(e2)=(a11e1+a21e2)(a12e1+a22e2)定义:平面的仿射变换f,若它在仿射坐标系中的变换公式(gōngshì)的系数矩阵A的行列式|A|>0,则称f为第一类的;若|A|<0,则称f是第二类的.P207.习题(xítí)4.3定义:如果非零向量u与f(u)平行,则称u为f的一个特征向量;此时有唯一(wéiyī)实数使得f(u)=u,称为f的一个特征值,也称u为f的属于特征值的特征向量.则非零向量(xiàngliàng)u(x0,y0)是f的属于特征值的特征向量(xiàngliàng)当且仅当步骤(bùzhòu)1.求特征值,即特征方程的解.例4设f是位似系数为k的位似变换,求f的特征(tèzhēng)向量与特征(tèzhēng)值.求法:f的不动点即为下面(xiàmian)方程组的解.(1)不为零时(即1不是(bùshi)f的特征值),f有唯一不动点.例5已知仿射变换(biànhuàn)f在一个仿射坐标系中的变换(biànhuàn)公式为解特征方程29+18=0得f的特征值为(2)f的变积系数(xìshù)为设f在旧坐标系中的变换(biànhuàn)矩阵为A,根据性质4,f在新坐标系中的变换(biànhuàn)矩阵B应为故f在新坐标系中的变换(biànhuàn)公式为(3)解法(jiěfǎ)二:利用特征向量的性质.定理平面(píngmiàn)的保距点变换f在一个直角坐标系中的公式为设f是平面(píngmiàn)上的保距变换.取I:[O;e1,e2]为右手直角坐标系,由上面定理可知,f在I中的变换矩阵为正交矩阵.此