高斯定理及应用高斯（JohannCarlFriedrichGauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于阿根廷，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。在静电场中，通过闭合曲面的E通量Φe与该闭合曲面内所包含的电荷有着确定的量值关系，这一关系可有高斯定理表述如下：在真空中的静电场内，通过任何闭合曲面的E通量，等于包围在该闭合曲面内的所有电荷的代数和的1ε0倍。其数学表达式为：Φe=sE∙dS=1ε0iqi，定理中的闭合曲面常称为高斯面，iqi表示高斯面内电荷的代数和。高斯定理是电磁学理论中的一条重要规律。在理解高斯定理的过程中，有几条需要注意：高斯定理反映了电场对闭合曲面的E通量Φe与闭合曲面包围的电荷量的代数和的关系，并非是指闭合曲面上的电场强度E与闭合曲面内电荷量的代数和关系；虽然闭合曲面外的电荷对通过闭合面的E通量Φe没有贡献，但是对闭合面上各点的电场强度E是有贡献的，也就是说，闭合面上各点的电场强度是由合面内、外所有电荷共同激发的；高斯定理说明了静电场是有源场。高斯定理不仅从一个侧面反映了静电场的性质，而且有时也可用来计算一些呈高度对称性分布的电场的电场强度，这往往比采用叠加发更简便。从高斯定理的数学表达式来看，电场强度E位于积分号内，一般情况下不宜求解。但是如果高斯面上的电场强度大小处处相等，且方向与各点处面积元dS的法线方向一致或具有相同的夹角，这时E∙dS=EcosθdS，则E可作为常量从积分号中提出来，这样就可以解出E值。由此看来，利用高斯定理计算电场强度，不仅要求电场强度分布具有对称性，而且还要根据电场强度的对称分布作响应的高斯面，以满足：（1）高斯面上的电场强度大小处处相等；（2）面积元dS的法线方向与该处的电场强度E的方向一致或具有相同的夹角。高斯定理在电学中的应用非常广泛，但在有介质存在的时候是否还继续适用呢？当外电场中存在电介质时，由于极化将引起周围电场的重新分布，这时空间任意一点处的电场将由自由电荷和极化电荷共同产生。因此高斯定理中封闭曲面所包围的电荷，不仅仅是自由电荷，还应该包括极化电荷，即sE∙dS=1ε0（iqi+iqi'），式中，iqi和iqi'分别为封闭曲面S所包围的自由电荷和极化电荷的代数和，S面上的电场强度E则是空间所有电荷共同产生的。公式是得出来了，但极化电荷却很难测定，所以，高斯定理在介质中应用时还有另一种形式：sD∙dS=iqi，这里的D定义为：D=ε0E+P，称为电位移，iqi为自由电荷总数，并不包括极化电荷。为了描绘电位移D在空间的分布，引入了电位移线，又称D线。D线与E线的区别在于：E线始于正电荷，终止于负电荷，这里说的电荷包括自由电荷和极化电荷；而D线仅始于自由正电荷，终止于自由负电荷。且D=ε0εrE=εE。引入电位移D以后，可以利用高斯定理式计算电介质中的电场强度。在电场强度满足对称性的前提下，可以先用式sD∙dS=iqi求出D，然后根据实验测定的εr，求出ε。从而，由式D=ε0εrE=εE便可计算相应的电场强度E。高斯定理的学习需要细心和理解，尤其是注意到有介质存在和没有介质存在时的区别，才能更好的应用。