二○○一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：00—9：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3、在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=8（B）0<k≤12（C）≥1（D）0<k≤的短轴长等于。8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则z1z2=。9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是。10、不等式的解集为。FABCDE11、函数的值域为。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且，，（a1<a2）,又，试求{an}的首项与公差。14、设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。求实数m的取值范围（用a表示）；O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：00—12：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。二、（本题满分50分）设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且，求的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．选择题：CBDDCA二．填空题7．8．9．10．11．12．732三．解答题13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得化简得：解得：………………………………………………………5分而，故a1＜0若，则若，则………………………………10分但存在，故|q|＜1，于是不可能．从而所以………………………………20分14．解：(1)由消去y得：①设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；2°f(a)f(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f(－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f(a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．………………………………………………10分(2)△OAP的面积∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a，由唯一性得显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝取值最大，此时，∴．当时，xp＝－a2，yp＝，此时．下面比较与的大小：令，得故当0＜a≤时，≤，