线性代数在数学建模中得应用举例1基因间“距离”得表示在ＡBＯ血型得人们中，对各种群体得基因得频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B,O区别开，有人报道了如下得相对频率,见表1、1。表1、1基因得相对频率爱斯基摩人ｆ1ｉ班图人f2i英国人f３ｉ朝鲜人f4iＡ10、29１40、１0３4０、20900、２208Ａ２0、00000、08６６0、０6９６0、000０B０、03１60、12000、0612０、2069O０、67700、690０0、6６0２0、5723合计1、０001、0０01、0０01、000问题一个群体与另一群体得接近程度如何？换句话说,就就是要一个表示基因得“距离”得合宜得量度。解有人提出一种利用向量代数得方法.首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目得，我们取每一种频率得平方根,记、由于对这四种群体得每一种有，所以我们得到、这意味着下列四个向量得每个都就是单位向量、记在四维空间中,这些向量得顶端都位于一个半径为1得球面上、现在用两个向量间得夹角来表示两个对应得群体间得“距离”似乎就是合理得、如果我们把a1与a2之间得夹角记为θ，那么由于|ａ1｜=|a2|=１,再由内只公式，得而故得°、按同样得方式，我们可以得到表１、2、表１、２基因间得“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0°2３、2°16、4°１6、8°班图人23、2°0°9、8°２0、4°英国人１６、4°９、8°０°1９、6°朝鲜人1６、８°２0、４°19、6°0°由表１、2可见，最小得基因“距离”就是班图人与英国人之间得“距离”，而爱斯基摩人与班图人之间得基因“距离”最大、２Eulｅr得四面体问题问题如何用四面体得六条棱长去表示它得体积?这个问题就是由Eｕｌeｒ（欧拉）提出得、解建立如图2、１所示坐标系，设A，B,Ｃ三点得坐标分别为（ａ１，ｂ1，c1），(ａ2,b2,c2）与(a3，b3,c3),并设四面体O-ABC得六条棱长分别为由立体几何知道,该四面体得体积V等于以向量组成右手系时，以它们为棱得平行六面体得体积V6得EQ\F（1，6）、而于就是得将上式平方,得根据向量得数量积得坐标表示，有ﻩ于就是（2、１）由余弦定理,可行同理将以上各式代入（２、1）式，得（２、2）这就就是Euleｒ得四面体体积公式、例一块形状为四面体得花岗岩巨石,量得六条棱长分别为ｌ＝10m，ｍ＝1５m，n=12m，ｐ＝14m,q=１3ｍ，r=11m、则代入（２、1）式，得于就是即花岗岩巨石得体积约为195m3、古埃及得金字塔形状为四面体,因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔得体积、3动物数量得按年龄段预测问题问题某农场饲养得某种动物所能达到得最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁;第二组,６~１０岁;第三组，1１~１5岁、动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计，第二组与第三组得繁殖率分别为４与３、第一年龄与第二年龄组得动物能顺利进入下一个年龄组得存活率分别为EＱ\F（1,2)与ＥQ＼F(1,4)、假设农场现有三个年龄段得动物各１00头,问15年后农场三个年龄段得动物各有多少头？问题分析与建模因年龄分组为５岁一段,故将时间周期也取为5年、15年后就经过了3个时间周期、设表示第k个时间周期得第i组年龄阶段动物得数量(k=1，2，3；i=１,2，３）、因为某一时间周期第二年龄组与第三年龄组动物得数量就是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物得数量，所以有又因为某一时间周期，第一年龄组动物得数量就是由于一时间周期各年龄组出生得动物得数量,所以有于就是我们得到递推关系式：用矩阵表示则其中则有结果分析15年后,农场饲养得动物总数将达到１6625头，其中0～5岁得有１4375头，占８6、47％，6～1０岁得有１375头，占8、27％,1１～1５岁得有８75头，占5、226％、１5年间,动物总增长16625－3000＝13625头，总增长率为１3625／300０=45４、1６%、注要知道很多年以后得情况，可通过研究式中当趋于无穷大时得极限状况得到、关于年龄分布得人口预测模型我们将人口按相同得年限(比如5年)分成若干年龄组，同时假设各年龄段得田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型、人口发展随时间变化,一个时间周期得幅度使之对应于基本年龄组间距(如先例得5年)，令就是在时间周期k时第i个年龄组得（女性）人口，i=1，2,…，n、用1表示最低年龄组，用n表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口得变化、假如排除死亡得情形，那么在一个周期内第i个年龄组得成员将全部转移到ｉ＋1个年龄组、但就是