2005年第9期31巧思妙解巧用根轴与根心定理证明两线垂直李成章(南开大学数学科学学院,300071)根轴定理与根心定理都是数学竞赛中的⊙O和⊙K的幂,因此,点M在⊙O和⊙K重要定理.的根轴上.根轴定理两圆的根轴与连心线互相垂同理,点N也在这条根轴上.直.于是,直线MN为⊙O与⊙K的根轴.根心定理三个圆两两之间的三条根轴则OK⊥MN,即OH⊥MN.或者互相平行或者交于一点(即根心).这个证法很巧妙.由于当时像这样用根例1如图1,轴定理证垂直的途径还不广为人知,所以曾在△ABC中,O被一些人认为是凤毛麟角、实属罕见.后来发为外心,三条高现并不尽然,还有一些关于垂直的题目可以AD、BE、CF交于用类似的方法来证明.事实上,这也是证明垂点H,直线ED和直的一条重要途径.不仅如此,根心定理有时AB交于点M,直也可用来证明垂直问题.线FD和AC交于例2凸四边形ABCD的两条对角线交点N.证明:于点O,△AOB和△COD的重心分别为M1(1)OB⊥和M2,△BOC和△AOD的垂心分别为H1和⊥DF,OCDE;H2.证明:M1M2⊥H1H2.图1(2)OH⊥(1972,全苏数学奥林匹克)MN.证明:如图2,(2001,全国高中数学联赛)作△AOD的两条这是一道相当难的题目到目前为止此.,高AA1和DD1,作题已有几种证法,其中最为独特的方法就是△BOC的两条高用根轴定理来证明.由于(1)是“送礼”部分,BB1和CC1.故这里将(1)作为已知结果来证明(2).因为∠AA1B证明:因为九点圆的圆心K在欧拉线的=90°=∠BB1A,中点,即OH的中点,因此,OK就是△ABC图2所以,A、B、B1、A1的外接圆与九点圆的连心线.由根轴定理知,四点共圆且圆心为AB的中点E.为证(2),只须再证MN就是上述两圆的根同理,C1、C、D、D1四点共圆且圆心为轴.CD的中点F.因为∠AEB=90°=∠ADB,则有A、B、因此,EF为⊙E和⊙F的连心线.D、E四点共圆.又A、D1、A1、D四点共圆,则有故MB·MA=MD·ME.H2A·H2A1=H2D1·H2D.又MB·MA和MD·ME分别为点M关于©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net41中等数学由于H2A·H2A1和H2D1·H2D恰分别例4在∠AOB内部取一点C,过点C为点H2关于⊙E和⊙F的幂,所以,点H2作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,再过在⊙E和⊙F的根轴上.点D作DN⊥OB于点N,过点E作EM⊥OA同理,点H1也在这条根轴上.于点M.证明:OC⊥MN.故直线H1H2就是⊙E和⊙F的根轴.(1958,莫斯科数学奥林匹克)从而,H1H2⊥EF.证明:如图4,过点作⊥又M1M2∥EF,所以,M1M2⊥H1H2.CCHMN例3在凸五边形ABCDE中,AB=BC,于点H.因为∠BCD=∠EAB=90°,P为形内一点,使得∠CDM=∠CENAP⊥BE,CP⊥BD.证明:BP⊥DE.=90°,证法1:如图3,过点P作PH⊥DE于点所以,C、D、M、H图4H.因为和C、H、N、E分别∠PFD=∠PGE四点共圆,记两圆为⊙O1和⊙O2.由=90°=∠PHD∠DME=90°=∠DNE,∠=PHE,知D、M、N、E四点共圆,记之为⊙O3.所以,F、D、H、P易见,直线CH、EN、DM恰为⊙O1、和P、H、E、G分别⊙O2、⊙O3两两之间的三条根轴.又因前两四点共圆,记两圆图3条直线交于点O,故由根心定理知直线CH为⊙M和⊙M.12过点O,即C、H、O三点共线.又BF·BD=BC2=BA2=BG·BE,所以,又CH⊥MN,所以,OC⊥MN.F、D、E、G四点共圆,记此圆为⊙M.3例5设锐角△ABC的外心为O,易见,⊙M、⊙M、⊙M两两之间的公123△BOC的外心为T,点M为边BC的中点,在共弦恰为、、由根心定理知这三PHEGFD.,边AB、AC上分别取点D、E,使得∠ADM=条根轴交于一点.∠AEM=∠BAC.证明:AT⊥DE.又已知直线和交于点因此DFEGB,,(第30届俄罗斯数学奥林匹克)直线过点PHB.证明:如图5,由PH⊥DE知BP⊥DE,.由O是△ABC的证法记BP的中点为O2:.外心,T是△BOC因为∠BFP=90°=∠BGP,所以,B、F、的外心知,O、M、P、G四点共圆且圆心为点O.T三点共线,且又因为BA=BC,∠BCD=90