第四章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动【例题解析】例4-1已知不可压缩流动的速度分布为u=y+2z，v=z+2x，w=x+2y，求涡量及涡线。∂w∂v∂u∂w∂v∂u解：Ω=−=1，Ω=−=1，Ω=−=1x∂y∂zy∂z∂xz∂x∂ydxdydz涡线方程为：==ΩxΩyΩz把涡量分量代入得：dx=dy=dz积分得：x=y+C1，y=z+C2例4-2已知速度场为u=−x2y，v=xy2，求圆周x2+y2=1的速度环量。∂v∂u解：Ω=−=y2+x2=r2z∂x∂yrπΓ=V⋅dsr=ΩdA=r3drdθ=∫∫∫n∫∫2例4-3已知平面流动的流函数ψ=3x2y−y3，（1）求势函数；（2）若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.5×105Pa，流体的密度ρ=1.2kg/m3，则B（3m，5m）处的绝对压强是多少？∂ψ∂ψ解：（1）u==3x2−3y2，v=−=−6xy∂y∂x第一种方法：∂ϕ=u=3x2−3y2积分得ϕ=x3−3xy2+f(y)∂x∂ϕ∂ϕ再对y微分得到=−6xy+f′(y)又=v=−6xy∂y∂y所以−6xy+f′(y)=−6xy则f′(y)=0，f()y=C令C=0，于是ϕ=x3−3xy2第二种方法：∂ϕ∂ϕu=，v=∂x∂y∂ϕ∂ϕ则=u=3x2−3y2=v=−6xy∂x∂y∂ϕ∂ϕdϕ=dx+dy=(3x2−3y2)dx+(−6xy)dy∂x∂yx,0x,yx,0x,y积分得ϕ=(3x2−3y2)dx+(−6xy)dy=(x3+3xy2)+(−3xy2)=x3−3xy2∫∫0,0x,00,0x,0（2）先求A和B处的合速度V值。由于V2=u2+v2，所以22222VA=(3×1−3×1)+(−6×1×1)=3622222VB=(3×3−3×5)+(−6×3×5)=10404由伯努利方程11p+ρV2=p+ρV2A2AB2B11可得p=p+ρ()V2−V2=1.5×105+×1.2×()36−10404=143779.2PaBA2AB2例4-4圆柱体长l=5m，直径D=1m，垂直立于平板车上（见图4-1）。平板车以V1=20m/s的速度匀速前进。若此圆柱体以5r/s的速度绕垂直轴顺时针方向旋转，并受到垂直于平板车行驶方向的侧向风作用，风速V2=15m/s。求圆柱体所受流体作用力的大小和方向（空气密3度取1.2kg/m，忽略圆柱体两端三维效应）。解：平板车行驶时感受到的风速V1如图4-1所示，它与风速V2合成得VVV=2+2=202+152=25m/s12图4-1例4-4示意图由合成风速很容易确定升力方向。下面求升力大小：2Γ=2πRvθ=2πRωR=2π×0.5×(5×2π)×0.5=5πF=ρVΓl=1.2×25×5π2×5=7402NExampleE4-1Aincompressiblevelocityfieldisgivenbyu=a()x2−y2,v=−2axy,w=0Ifastreamfunctionexistsforthevelocityfield,findit,plotit,andinterpretit.Solution:Solutionstep1:∂u∂v∂∂+=[a(x2−y2)]+(−2ay)=2ax+(−2ax)=0checks∂x∂y∂x∂yThuswearecertainthatastreamfunctionexists.Solutionstep2:Tofindψ∂ψu==ax2−ay2(1)∂y∂ψv=−=−2axy(2)∂xAndworkfromeitheronetowardtheother.Integrate(1)partiallyay3ψ=ax2y−+f()x(3)3Differentiate(3)withrespecttoxandcomparewith(2)∂ψ=ax2y+f'(x)=2axy(4)∂xThereforef'(x)=0,orf=constant.Thecompletestreamfunctionisthusfound:y3ψ=a(x2y−)+CAns.(5)3Toplotthis,setC=0forconvenienceandplotthefunction3ψ3x2y−y3=(6)aforconstantvaluesofψ.TheresultisshowninFig.E4-1(a)tobesix60°wedgesofcirculatingmotion,eachwithidentical