二重积分的数值方法二重积分的数值方法PAGE-7-二重积分的数值方法《数值分析课程设计》报告专业：学号：学生姓名：指导教师：一、题目数值积分中二重积分探究。二、理论数值积分就是用数值方法近似计算定积分。其原理很简单，就是将积分核用插值多项式替代,用多项式的结果近似定积分的值。一般常用的方法是，将积分区间等分为个子区间,即取步长，子区间端点为(k=0,1,…,n)，在每个子区间上套用插值积分公式,再将个区间的结果累加起来。比较常用的有梯形公式，是在每个子区间上用1阶多项式（即直线段)近似并积分的结果：另外一种在实际应用中很受欢迎的方法是，在每个子区间上用2阶多项式（即抛物线)近似并积分，得到著名的辛普森（Simpson)公式:其中。三、方法、算法与程序设计Ⅰ.辛普森公式求二重积分考虑二重积分，它是曲面与平面区域R围成的体积,对于矩形区域，可将它写成累次积分.若用复合辛普森公式，可分别将，分成N，M等份，步长，，先对积分，应用复合辛普森公式,令，,则从而得。对每个积分再分别用复合辛普森公式即可求得积分值.MATLAB程序见附录1,MATLAB中自带自适应辛普森公式dblquad(），对于变量区域同样适用。对于变量区域，写成累次积分的形式:进行数值计算的表达式为:上面的表达式中、表示权重,取决于一维积分方法。我们常用复合辛普森公式,先对内积分进行计算,在计算外积分，与矩形区域情况基本一致。Ⅱ高斯求积公式求二重积分在高斯求积公式中，若取权函数,区间为,则得公式.勒让德多项式是区间上的正交多项式,因此，勒让德多多项式的零点就是求积公式的高斯点。若取的零点做节点构造求积公式；若取的零点构造求积公式；当时，求积公式为同样先用高斯求积公式求内积分,再求外积分，可得二重积分值。四、算例、应用实例算例：计算二重积分。(1）若区域，试分别用复合辛普森公式（取n=4）及高斯求积公式(取n=4）求积分.（2)若区域用复合辛普森公式（取n=4）求积分。解：（1）=对各个积分应用复合辛普森公式。也可应用MATLAB中的函数进行计算，程序见附录2。先将区域变换为区域,其中,等价于,有。对于取时的高斯求积公式节点及系数，即，，，，,，，用的高斯积分公式计算积分I,(2）,等分为4等份，对应值为的值,用节点应用辛普森公式对内积分求积,再用复合辛普森公式对外积分求积，也可用MATLAB中的函数实现,结果和程序如下(附录3）。五、参考文献【1】数值分析李庆扬,王朝能，易大义清华大学出版社【2】数值分析课程设计陈越，童若锋浙江大学出版社【3】MATLAB教程张志涌北京航空航天大学出版社六、附录附录1：functionq=DblSimpson（f,a，A，b，B，m，n）if(m==1＆＆n==1)%辛普森公式q=（（B-b)*（A-a）/9）＊(subs(sym（f)，findsym（sym（f)),｛a，b}）+.。.subs(sym（f），findsym（sym(f)）,｛a,B}）+.。.subs（sym（f),findsym（sym（f））,｛A,b｝）+。..subs(sym（f),findsym(sym(f）)，｛A，B｝）+。..4＊subs（sym(f),findsym（sym(f)）,｛（A—a)/2,b})+。。.4*subs(sym（f），findsym（sym（f）)，{（A—a)/2，B｝）+...4＊subs（sym（f）,findsym（sym（f)），｛a,（B-b)/2｝）+。..4＊subs(sym(f），findsym（sym(f)），｛A,(B—b)/2})+。。.16＊subs(sym(f)，findsym（sym(f）),{（A-a)/2，（B-b)/2})）;else%复合辛普森公式q=0;fori=0：n—1forj=0：m-1x=a+2*i*(A-a）/2/n;y=b+2＊j＊(B—b)/2/m;x1=a+（2*i+1）＊（A-a)/2/n;y1=b+(2＊j+1）＊(B-b）/2/m；x2=a+2＊(i+1）＊（A-a)/2/n;y2=b+2*(j+1）＊（B-b)/2/m；q=q+subs（sym(f),findsym（sym(f)），{x，y｝）+..。subs（sym（f）,findsym（sym（f）），｛x，y2｝）+。。。subs(sym（f)，findsym(sym（f)），{x2,y｝）+..。subs(sym（f)，findsym（sym（f））,{x2,y2｝）+...4＊subs（