新产品推销Logistic模型的另一种应用模型的另一种应用）（Logistic模型的另一种应用）种新产品问世后的销售问题，一种新产品问世后的销售问题，是经营者关心的问题。本模型讨论产品销售问题。问题。本模型讨论产品销售问题。模型1假设产品以自然方式推销，模型1：假设产品以自然方式推销，即卖出的产品实际上起着宣传的作用，吸引购买者购买。实际上起着宣传的作用，吸引购买者购买。设t时刻产品销售总量为x(t)x(t)，刻产废圩芰课獂(t)，且单位时间内每一产品平均吸引k个顾客，则在△t时间内销售量为x(t+平均吸引k个顾客，则在△时间内销售量为x(t+t)t,于是△t)-x(t)=△x=kx(t)△t,于是dx=kxdt这是Malthus模型。这是Malthus模型。Malthus模型x0,则解之得x=x0ekx,则解之得设t=0,x=讨论：讨论：（1）经检验该模型在销售初期与实验吻合；经检验该模型在销售初期与实验吻合；t=0时产生原因：（2）设t=0时，x=x0，从而x(t)≡0。产生原因：假设以自然销售方式销售，从而在未卖出之前，假设以自然销售方式销售，从而在未卖出之前，按自然方式不能销售；自然方式不能销售；对于一些耐用品（如家具，（3）t→∞,x(t)→∞，对于一些耐用品（如家具，钢琴等，包括首饰），一般有一个上界（），一般有一个上界琴等，包括首饰），一般有一个上界（不可能重复购买）。购买）。模型2：模型：假设（）需求有一个上界M；假设（1）需求有一个上界；（2）经营者可能用其他方式推销产品（如广）经营者可能用其他方式推销产品（成正比，告）这样，销售与M－x成正比，又与成正这样，销售与－成正比又与x成正比。于是,于是,dx∝x(M?x)dt，从而dx=kx(M?x),x(0)=x0dt解得Mxx(t)=x0+(M?x0)e?kMt这是Logistic模型。模型。这是模型讨论：（）讨论：（1）t=0,x≠0,易知x(t)≠0，做广告：（易知等，0≠0；x从而解决了模型1的不（2）→∞,x(t)→∞，从而解决了模型的不）t足，图形见图3－55；图形见图－；dxx(t)单调递增单调递增；（3）由dt=kx(M?x)>0知x(t)单调递增；）2（4）d2x=(kM?2kx)x′=k(M?2x)x′=0）dtMx=解得2Mx=即2。M最大。时，x′最大。结论：结论：当x接近总需求量的一接近总需求量的一半时，销量增长最快。半时，销量增长最快。M2t0图3－55例3－24－广告模型在商品销售中，很少像例－中讲的仅靠商品在商品销售中，很少像例3－23中讲的仅靠商品自身做广告，而是要靠各种媒体大肆宣传。自身做广告，而是要靠各种媒体大肆宣传。虽然说“只要是美的，人人喜欢”，“酒香不怕然说“只要是美的，人人喜欢”巷子深”，但人们已越来越认识到广告的作用。本但人们已越来越认识到广告的作用。模型就从数学解度探讨广告与销售量的关系，并型就从数学解度探讨广告与销售量的关系，指出广告在商品的不同销售阶段的的差异。指出广告在商品的不同销售阶段的的差异。模型1：独家销售广告模型模型：假设：(1)商品t假设：(1)商品t时刻的销售量为s(t)，销售商品因做广告而增加（速度s′(t)因做广告而增加（与广告费M(t)成ds正比），但在市场趋于饱和时，正比），∝M(t)，但在市场趋于饱和时，dt销售量趋于极限值（）。这时这时，销售量趋于极限值（M）。这时，销售速度下降(广告作用下降，当s(t)→M，广告作用趋广告作用下降，于零）。于零）。自然衰退是商品销售速度的一种性质，（2）自然衰退是商品销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售量增加而下降。即商品销售速度随销售量增加而下降。dss(t)∝1?dtM，（以广（3）θ为衰减系数，(t)为广告水平，（以广）为衰减系数，M为广告水平，（告费用为标志。告费用为标志。由题意：由题意：ds(t)s(t)=ρM(t)(1?)?θs(t)dtMρ表示广告对的影响力。s′的影响力。特别：特别：M(t)=0,s(t)=ds(t)=?θs(t)M时，得到dt复杂，方程难以解出。考虑假设(1)(1)，若M(t)复杂，方程难以解出。考虑假设(1)，当销售进行到一定时刻，无论如何做广告，当销售进行到一定时刻，无论如何做广告，销售速度都将下降。故设广告总费用为m售速度都将下降。故设广告总费用为m，为讨论方便，τ论方便，设在时间内做广告且取=m，M(t)τ即取广告策略为?m时间内，平均投入广告费用，相当于在开始到τ时间内，平均投入广告费用，以后不再作广告。时间以后不再作广告。τM一般不是常数（注：实际问题中，(t)一般