高二选修2-2推理与证明同步辅导【知识概要】推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法本章知识网络：一、推理●1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。2）归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论3）归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。●2.类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。2）类比推理的思维过程是：观察、比较联想、类推推测新的结论●3.演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。2）主要形式是三段论式推理。3）三段论式常用的格式为：M——P（M是P）①S——M（S是M）②S——P（S是P）③其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。二、证明●1.直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。●2.间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词反议词原结论词反议词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=时命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.【题型分析】题型1用归纳推理发现规律【例1】观察：；；；…对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故【例2】蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.【解题思路】找出的关系式[解析]【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【例3】观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案]sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝eq\f(3,4)[解析]观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝eq\f(3,4).可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos(60°＋2α),2)＋eq\f(1,2)[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋eq\f(1,2)[cos(60°＋2α)－cos2α]＋eq\f(1,2)sin(30°＋2α)－