Borntowin2020全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当x0时，下列无穷小量中最高阶是（）xx（A）et21dt（B）ln1t2dt00sinx1cosx（C）sint2dt（D）sint2dt00【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。x（A）et21dtex21x20x（B）ln1t2dtln1x2x0sinx（C）sint2dtsinsin2xx2011cosx（D）sint2dtsin(1cosx)2sinxx302经比较，选（D）1ex1ln1x（2）函数f(x)的第二类间断点的个数为（）(ex1)(x2)（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有x1,0,1,2，由此11ex1ln1xe2limf(x)limlimln1x；x1x1(ex1)(x2)3(e11)x11ex1ln1xe1ln(1x)1limf(x)limlim；x0x0(ex1)(x2)2x0x2eBorntowin1ex1ln1xln21limf(x)limlimex10;xx1x1(e1)(x2)1ex1；1ex1ln1xln21limlimex1;xx1(e1)(x2)1ex11ex1ln1xeln31limf(x)limlimx2x2(ex1)(x2)(e21)x2x2故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C）正确。arcsinx（3）1dx（）0x1x22（A）（B）（C）（D）4848【答案】（A）【解析】令xsint，则xsin2t，dx2sintcostdt21arcsinxtdx22sintcostdt22tdtt22sintcost40x1x000（4）fxx2ln1x,n3时，fn0n!n!n2!n2!（A）（B）（C）（D）n2n2nn【答案】(A)xnxn2xn【解析】由泰勒展开式，ln(1x)，则x2ln(1x)，nnn2n1n1n3n!故f(n)(0).n2xy,xy0（5）关于函数fx,yx,y0给出以下结论y,x0ff①1②1③limf(x,y)0④limlimf(x,y)0x0,0xy0,0x,y0,0y0x0Borntowin正确的个数是（A）4（B）3（C）2（D）1【答案】（B）ffx,0f0,0x0【解析】limlim1，①正确x0,0x0x0x0xfff1fx0,yx0,0x0,ylimlim,xy0,0y0y0y0yffx,yf0,yxyyx1而limlimlimy不存在，所以②错误；x0,yx0x0x0xx0xxy0xy,x0x,y0y,从而x,y0,0时，limf(x,y)0，x,y0,0③正确。0,xy0或y0limfx,y,从而limlimf(x,y)0，④正确x0y,x0y0x0（6）设函数f(x)在区间[2,2]上可导，且f'(x)f(x)0.则f(2)f(0)f(1)f(2)(A)1(B)e(C)e2(D)e3f(1)f(1)f(1)f(1)【答案】(B)f(x)f'(x)exf(x)exf'(x)f(x)【解析】构造辅助函数F(x)，由F'(x)，由题exe2xexf(x)f(0)f(1)意可知，F'(x)0，从而F(x)单调递增.故F(0)F(1)，也即，exe0e1f(0)又有