摘要：建设和谐社会，实现全面小康已成为当前我国的重要方略。没有收入差距的缩小，没有合理的收入分配格局，实现全面小康、建设和谐社会就无从谈起。党的十六大报告正式提出：“以共同富裕为目标，扩大中等收入者比重，提高低收入者收入水平”，将扩大中等收入者比重作为实现共同富裕的途径之一。要提高我国中等收入者的重，就必须明晰中等收入者比重的现实状况及其变动趋势。众所周知，洛伦兹曲线是用以研究社会收入分配平等或不平等的一种公平性测量方法，它是由美国统计学家M.O.洛伦兹提出的。通过洛伦兹曲线，我们可以直观德分析一个国家以及社会收入分配平等或不平等的状态。问题的提出：问题1：利用表1所给数据，重新构造满足，，，的洛伦兹曲线。表1问题的分析：设经济系统中的人口按收入从低到高进行了排序，记是低收入端的累计人口比例，记为该人口拥有的总收入比例，如此定义的函数称为洛伦兹曲线。若收入分配的密度函数为，其中表示收入（仅考虑正的收入）。收入分配经验分析说明，收入分配曲线一般是所谓正偏的，即峰值点向左偏，右端拖一个长尾巴。记对应的分布函数为，则表示收入不超过的人口比例。设平均收入为，则按定义，表示收入不高于的人口所拥有的收入比例，即因此，从收入分配的统计分布出发可以得到相应的洛伦兹曲线。反之，若洛伦兹曲线已知且二次可微，则容易得到对应的统计分布，显然是洛伦兹曲线的充要条件为：，，，基本模型：我们知道，对任意定义在上的曲线，若满足，，且，则称曲线为洛伦兹曲线。基本洛伦兹模型有：考虑函数（1）其中为洛伦兹曲线。定理1：由（1）式定义的物洛伦兹曲线。证明：由于为洛伦兹曲线，则显然有，；由于，则又，且，则，故则定理得证。定理2：构造函数，那么当时，该函数为洛伦兹曲线。证明：若满足，，，，则称为洛伦兹曲线。首先，显然有，；其次当，时，时，定理得证。注记：（1）当，退化为；（2）当时，；则当时，我们有。结合定理1与定理2，我们构造新的洛伦兹曲线如下：问题的解决：表1中给出了1个收入分配的分组数据，该组数据中含有17个洛伦兹曲线上的17个点。利用该数据，利用非线性最小二乘法我们对上述洛伦兹模型进行参数估计。为得到模型拟合精度的好坏，我们用以下三个标准进行衡量：均方误差(MSE,meansquarederror)：平均绝对误差(MAE,meanabsoluteerror)：最大绝对误差(MAS,maximumabsoluteerror)：在得出模型的均方误差、平方绝对误差以及最大绝对误差，将该模型试验结果与若干其他洛伦兹模型【1-2】进行比对，得出该模型的优劣。数据试验结果详见表2。表1洛伦兹曲线的序号洛伦兹模型MSEMAEMAS12.3803e-0712230.01384560.0016784.2151e-049104.6244e-063711在上述三个标准的衡量下，我们构造的洛伦兹曲线与表2中的十个洛伦兹模型进行比较，其拟合效果具有很大的改善，由此说明该模型拟合精度较好。特别地，我们构造的洛伦兹曲线与曲线有相似的拟合精度，但洛伦兹曲线在形式上更为简便，更便于实际中的运用。图1给出了11种洛伦兹曲线对表一数据的拟合效果。图1洛伦兹曲线的拟合图问题2：已知收入分布函数的中位数点为。中等收入人口的界定方法有“收入空间法”和“人口空间法”，其定义分别为：收入空间法：取任意一区间，且保证，此时得到的中等收入人口比例。人口空间法：选定邻近的一个范围为中等收入人口，假设为（且），此时中等收入人口比例已经取定为，再用对应的人口所拥有的收入比上总收入所得比例来描述中等收入人口的状态。从洛伦兹曲线出发，可以得到中等收入人口的状态的定义式为：问题的分析：（一）模型一：对“收入空间法”的改进在问题的求解之前，我们首先要给出中等收入人口的定义。由于社会是一个动态发展的过程，且我国正处于社会发展期，所以中等收入人口的定义不仅要具有一般意义上的中等收入者含义，更应该考虑到特定阶段的特定内涵，归纳起来，中等收入人口要具有两种意义：从收入分配的角度，即从收入密度函数曲线的角度来看，中等收入人口比重表现为收入中值附近一定收入区间的分布概率。中等收入人口比重的提高表现为收入中值附近分布密度的提高，即收入密度曲线变得更陡，方差变小（收入差距变小）。从发展的角度来看，指达到某种生活水平（如小康生活）以上的人群。随着经济的发展，收入在特定中等收入线以上的人口比重将扩大。依据上述对中等收入人口的理解，针对“收入空间法”取值的随机性，我们可以按照两种测算方法对中等收入人口界限进行界定：方法一：采用部分排序法来确定中等收入人口的比重。这是一个动态标准，一方面，落入