通信原理第第33章章随机过程随机过程1第第33章章随机过程随机过程基本要求：随机过程的基本概念平稳随机过程的定义、各态历经性、相关函数与功率谱密度高斯过程的定义、性质、一维概率密度函数和分布函数窄带随机过程的表达式和统计特性正弦波加窄带高斯过程的统计特性白噪声和带限白噪声随机过程通过线性系统2第第33章章随机过程随机过程3.1随机过程的基本概念什么是随机过程？随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。3第第33章章随机过程随机过程【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形样本函数ξi(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程：ξ(t)={ξ1(t),ξ2(t),…,ξn(t)}是全部样本函数的集合。ξ()tξ1()tξ2()t⋮ξn()tt04第第33章章随机过程随机过程角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。在任一给定时刻t1上，每一个样本函数ξi(t)都是一个确定的数值ξi(t1)，但是每个ξi(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{ξi(t1),i=1,2,…,n}是一个随机变量，记为ξ(t1)。随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。5第第33章章随机过程随机过程3.1.1随机过程的分布函数设ξ(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值ξ(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。随机过程ξ(t)的一维分布函数：F1(x1,t1)=P[ξ(t1)≤x1]随机过程ξ(t)的一维概率密度函数：∂F1(x1,t1)f1(x1,t1)=∂x1若上式中的偏导存在的话。6第第33章章随机过程随机过程随机过程ξ(t)的二维分布函数：F2(x1,x2;t1,t2,)=P{ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2}随机过程ξ(t)的二维概率密度函数：2∂F2(x1,x2;t1,t2)f2(x1,x2;t1,t2)=∂x1⋅∂x2若上式中的偏导存在的话。随机过程ξ(t)的n维分布函数：Fn(x1,x2,⋯,xn;t1,t2,⋯tn)=P{ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,⋯,ξ(tn)≤xn}随机过程ξ(t)的n维概率密度函数：n∂Fn(x1x2⋯xnt1t2⋯tn)fn(x1x2⋯xnt1t2⋯tn)=∂x1∂x2⋯∂xn7第第33章章随机过程随机过程3.1.2随机过程的数字特征均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变量，其均值∞E[ξ(t1)]=x1f1(x1,t1)dx11∫−∞11111式中f(x1,t1)－ξ(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，这样上式就变为∞E[ξ(t)]=xf1(x,t)dx∫−∞18第第33章章随机过程随机过程∞E[ξ(t)]=xf1(x,t)dx∫−∞ξ(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:ξ()ta(t)ξ1()tξ2()t⋮ξn()tt09第第33章章随机过程随机过程方差D[ξ(t)]=E{{[ξ(t)−a(t)]2}2方差常记为σ(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为D[ξ(t)]=E[[ξ2(t)−2a(t)ξ(t)+a2(t)]]=E[ξ2(t)]−2a(t)E[ξ(t)]+a2(t)=E[ξ2(t)]−a2(t)∞22=xf1(x,t)dx−[a(t)]∫∫−∞1均方值均值平方所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。10第第33章章随机过程随机过程相关函数R(t1,t2)=E[ξ(t1)ξ(t2)]∞∞=x1x2f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2∫∫−∞∫∫−∞122121212式中，ξ(t1)和ξ(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数B(t1,t2)=E{[ξ(t1)−a(t1)][ξ(t2)−a(t2)]}