2012年全国初中数学联赛四川（初三组）初赛试题——（第页共NUMPAGES4页）2012年全国初中数学联赛四川(初三组)初赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知关于的方程的根比关于的方程的根大2，那么a的值为（）A、B、C、D、2、设，，且，则代数式的值为（）A、5B、7C、9D、113、如图，直线AB、CD相交于点O，，半径为的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为.如果⊙P以的速度沿由A至B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切所需的时间为（）O第3题图PACBDNO第6题图MACBDA、秒B、秒C、秒D、秒或秒4、已知，，则等于（）A、B、C、D、5、已知，为（）A、B、1C、2D、46、如图所示，在梯形ABCD中，，AC交BD于点O，，且MON分别交AD、BC于M、N，则等于（）A、1B、2C、3D、4二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、有一列数，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2，……的规律排列，从左往右数，第2012个位置上的数是.2、若函数与函数的图像交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则的面积为.3、如图，在平面上将绕点B旋转到的位置时，，，则．A′C′ACB第3题图O4O3AO2O1OB第4题图4、如图，大⊙O的直径，分别以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O4O2O3的面积为.三、（本大题满分20分）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．（I）若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；（II）若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值。四、（本大题满分25分）如图，在中，D为AC边上一点，且，过D作AC的垂线交的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为外接圆的直径。DACBMN五、（本大题满分25分）已知方程组的所有各组解（x，y，z）都是由正实数组成的，其中是参数。试求a的取值范围。2012年四川初中数学竞赛(初三组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1、A2、B3、D4、D5、C6、B二、填空题（每小题7分，共28分）1、22、23、4、24三、（本大题满分20分）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．（I）若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；（II）若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值。解：（1）设点A坐标为（x，y），根据题意得（5分）解得或所以A点坐标为（，）或（，）（10分）（2）设点A坐标为（x，y），则（15分）所以当时，矩形ABOC面积取得最大值为8（20分）四、（本大题满分25分）如图，在中，D为AC边上一点，且，过D作AC的垂线交的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为外接圆的直径。解：延长AC至E，使（5分）EDACBMN则由已知得又，所以（10分）所以又由得所以（15分）所以所以（20分）所以M为优弧AMB的中点又因为所以MN为外接圆的直径（25分）五、（本大题满分25分）已知方程组的所有各组解（x，y，z）都是由正实数组成的，其中是参数。试求a的取值范围。解：由得①得②又③将①②代入③得，化简得（5分）此方程的两个根为和因x，y，z都是正实数，所以（10分）将代入①②得因此x，y是下面辅助方程的两个根④（15分）因为x，y是实数，所以（20分）因为x，y都是正数，所以，即因此可得a的取值范围是．（25分）