参数方程的应用在数学解题方法中，参数法是给人印象最深的一种，对参数方程中参数的几何意义和物理意义的了我解，是正确选取参数的前提，正确的选取参数，往往能使得一些看似复杂的问题，变得简单。一、利用参数方程求点的坐标例1、已知直线1经过点P（1，2），且倾斜角为，求直线1上到点P的距离为的点的坐标。分析：写出1的参数方程之后，要求点的坐标，关键在于对参数t的几何意义的了解。解：直线1的参数方程为x=1+tCosx=1+t（t为参数）y=2+tStn即y=2+t在直线1上到点P的距离为的点所对应的参数t满足|t|=即t=±，代入1的参数方程，得或。所以，所求点的坐标为（3，4）和（-1，0）例2、已知P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上一点，且A（-1，0），B（1，0），求使|AP|2+|BP|2为最小值的点P的坐标（x,y）。分析：将圆配方，(x-3)2+(y-4)2=4,圆上动点P用参数形式给出，可使问题简化。解：配方，得（x-3）2+(y-4)2=4圆的参数方程为设P(3+2cosθ，4+2sinθ)为圆上任意一点，则|AP|2+|BP|2=(3+2cosθ+1)2+(4+2sinθ)2+(3+2cosθ-1)2+(4+2sinθ)2=60+8(3cosθ+4sinθ)=60+40sin((θ+φ)(其中：φ=arctan)当sin(θ+φ)=-1时，|AP|2+|BP|2=取得最小值20。此时，θ+φ=,θ=-φ∴cosθ=-sinφ=-,sinθ=-cosθ=-∴所求点P坐标为（，）一、利用参数方程求长度x=2+tcosθy=1+tsinθy=1+tsin例3、已知椭圆+=1，和点P（2，1），过P作椭圆的弦，使P是弦的中点，求弦长。解：设弦所在的直线方程为：（t为参数）代入椭圆方程，得(2+tcosθ)2+4(1+tsinθ)2=16化简：得(cos2θ+4sin2θ)2+4(cosθ+2sinθ)-8=0P为中点，弦长==例4、已知两圆x2+y2=9和（x-3）2+y2=27,求大圆被小圆截得劣弧的长度。分析：两圆交于A、B两点，大圆圆心（3，0），要求出大圆被小圆截得劣弧的长，就要设法找出的大小，又由两圆对称性可知，只要找出AC与x轴正向夹我有即可。解：设A点的坐标为根据两圆的对称性可设（3+3cosa，3sina）。根据两圆的对称性可设≤a≤π，A也在小圆在，则有（3+3cosa）2+(3sina)2=9即18cosa=-27,cosa=-于是，a=，∠ACB=大圆被小圆截得劣弧长为×=π二、利用参数方程求最值例5、已知椭圆方程为，求它的内接矩形的面积的最大值，x=acosθy=btsinθy=1+tsin解：椭圆参数方程为(θ为参数)设椭圆内接矩形的一个顶点为(acosθ,bsinθ)(θ为锐角)则矩形面积S=4acosθ·bsinθ=2absin2θ≤2ab∴Smax=2ab例6、如图，已知点P在圆上x2+(y-2)2=上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求|pQ|的最大值。解：|pQ|≤|PO′|+|O′Q|=+|O′Q|设Q(2cosa,sina)，而O′（0,2）则|O′Q|2=4cos2a+（sina-2）2=-3（sina+）2+∴|O′Q|≤∴|pQ|≤∴|pQ|≤的最大值是四、利用参数方程求轨迹例7，已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)，B为抛物线上任意一点，点p在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程。分析：设点p的坐标为(x，y)，点B的坐标为（x0+y0），由于AP：BP=2：1，得x=，y=即x0=，y0=由于B(x0，y0)的抛物线y2=x+1上，或y20=x0+1将②代入③，得()2=+1化简得3y2-2x-2y+1=0即x=y2-y+即x=y2，此轨迹为抛物线。例8，∠MON=60°，边长为a的正三角形APB在∠MON内滑动，使得A始终在OM上，且O、P两点在AB两侧，求P点的轨迹方程。分析建立坐标系后，根据已知条件可知P的位置由∠PBN的变化决定，设∠PBN=θ，θ为参数，只需批出P的坐标（x，y）与θ的关系式，可以得出P点的轨迹的参数方程，参数可分为普遍方程。解：如图建立起直角坐标系，设P（x，y），/PBN=θ，θ为参数，且0≤θ≤∵∠AOB=∠AVP=∴∠OAB=∠PBN=0在△OB中，∵，∴OB=x=OB+acosθ=asinθ+acosθy=asinθy=1+tsin消去θ得（x-y）2+y2=a2即3x2-4xy+7y2-3a2=0