龙哥家教经典选题初三数学圆的经典例题初三数学圆的经典例题1.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，求∠BAC的度数。分析：分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，23，AE=22AD3∵OA=1，∴cos∠OAD==，OA2AE2cos∠OAE==OA2∵AB=3，AC=2，∴AD=∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°点拨：点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，∩如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点，（1）求证：△ABC是直角三角形；=============================================================北京海淀区1龙哥家教经典选题(2)求AD2的值BC分析：分析：(1)由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD交AB于F，则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF∩∽△DAE，可得AD2=DF·DE，而DF=1AD2BC，DE=2R，故可求2BC解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E∩∵D为AB的中点，∴AB⊥DE，AF=FB∴DF∥BC，DF=1BC2又∵AD=DC∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。（2）解：连结AE解∵DE是⊙O的直径∴∠DAE=90°而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDAADDF=，即AD2=DE·DFDEAD1∵DE=2R，DF=BC2AD2∴AD2=BC·R，故=RBC∴例3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（∩∩A.AB>2CD∩∩C.AB=2CD分析：分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：∩∩∩∩B.AB<2CD∩∩D.AB与2CD的大小关系不确定）∩∩1∩(1)把AB的一半作出来，然后比较AB与CD的大小。2∩∩∩(2)把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，=============================================================北京海淀区2龙哥家教经典选题∩∩1∩则AF=FB=AB21AE=EB=AB2∵AB=2CD，∴AE=CD=∵AF=FB，∴AF=FB在△AFB中，有AF+FB>AB∩∩1AB2∴2AF>AB，∴AF>∩∩∴AB>2CD∩∩AB，∴AF>CD，∴2AF>2CD2∴选A。解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE∩∩1∩则DE=CD=CE2在△CDE中，有CD+DE>CE∴2CD>CE∵AB=2CD，∴AB>CE∩∩∩∩∴AB>CE，∴AB>2CD∴选A。例4.如图，四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，已知AB=BC=求CD的长。1AD=1，4分析：分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，DE=AD，得利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BD∵AB=BC=1AD=143=============================================================北京海淀区龙哥家教经典选题∩∩∴AB=BC，AD=4，∴∠ADB=∠EDB∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EADBCCE=ADAEBC·AEBC(AB+BE)1+11∴CE====ADAD4217∴CD=DE?CE=4?=22∴△EBC∽△EDA，∴例5.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为E