会计学又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里就已包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.又如，隋代建造的跨度达37m的大石拱桥——赵州桥，系用一条条长方形条石砌成，一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈，这就是微积分“以直代曲”(或“以常代变”)这个基本思想的生动原型(yuánxíng).恩格斯指出“数学的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学.有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了.而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的.”0.2微积分如何解决实际问题(wèntí)自由落体的速度问题(wèntí).由物理学可知，自由落体的运动规律为图0.1第二步寻求(xúnqiú)做法，解决问题落体在t=1s到t=1.1s这段时间内的平均速度落在t=1s到t=(1+Δt)s这段时间内的平均速度(pínɡjūnsùdù)上面由平均速度向瞬时速度转化的分析(fēnxī)，可图示如下：自由落体瞬时速度的方法(fāngfǎ)：第一步以“不变代变”(或以常代变)，求出t=1s到t(1+Δt)s这段时间内的平均速度v.第二步在Δt“无限变小”的过程中，考察平均速度v的变化趋势，从而得出其自由落体在t=1s时的瞬时速度.第1章函数、极限(jíxiàn)与连续或a≤x<b的实数的区间叫做半开半闭区间，用记号(a,b］或［a,b)表示.(3)邻域在数轴上，一个以x0点为中心，半径(bànjìng)为δ的对称开区间(x0-δ,x0+δ)叫做点x0的δ邻域，记为N(x0,δ).函数概念(1)引例引例1圆的面积A与其半径(bànjìng)r之间的相互关系为：A=πr2,当ｒ在(0，+∞)内任意取定一个数值时，就可由上式确定圆面积A的对应数值.引例2某商品的销售单价为k(元)，销售数量x与销售收入R(元)之间的相互关系为：R=kx，当x在自然数集1，2，3，…中任意取定一个数值时，就可由上式确定销售收入R的对应数值.引例3某气象站用自动记录仪记下一昼夜气温的变化情况(qíngkuàng).图1.1是温度记录仪在坐标纸上画出的温度变化曲线图，其中横坐标是时间t，纵坐标是温度T，它形象地表示出温度T随时间t变化而变化的规律：对于某一确定的时间t(0≤t＜24)，就有一个确定的T值与之对应.例如，当t=t0时，由图1.1有T=T0.图1.1引例4某百货商店(bǎihuòshānɡdiàn)记录了毛线历年来的月销售量(单位：百公斤)，并将近10年来的平均月销售量列成表1.1.值时，另一个变量就有确定的值与之对应.两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质.(2)函数定义定义1.1设有两个变量x与y，若当变量x在其变化范围(fànwéi)内任取一个数值时，变量y按照一定的法则，总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数.记作(3)函数(hánshù)定义域的求法例1求下列函数(hánshù)定义域：或(4)函数符号(fúhào)f(x)的使用/(5)分段函数凡函数公式法中，用两个或两个以上的分析式子所给出的函数，称为分段函数.分段函数可以把一些较复杂的经济活动的全过程表示出来，它在实际应用中经常遇见，很有实用价值.一般而言，分段函数已不属于初等(chūděng)函数的范围了.但它仍然表示一个函数，不要把分段函数误认为有几个表达式就看成几个函数，千万要注意这一点.而且分段函数的函数值是用自变量所在区间相对应的那个式子去计算.(6)反函数一般由y=f(x)(直接函数)确定x是y的函数：x=φ(y)，称x=φ(y)为y=f(x)的反函数.通常y=f(x)的反函数记为y=f-1(x).函数y=f(x)的图形与其反函数y=f-1(x)的图形是关于直线(zhíxiàn)y=x对称的两条曲线，见图1.2.图1.2例设y=f(x)=e2x-1，求其反函数.解由y=e2x-1有e2x=y+1解设被剪去的小正方形边长为x，盒子的容积为V，这时，盒子的高为x，正方形的底边(dǐbiān)长为（a-2x）(图1.3)，根据几何知识，底面积乘以高等于体积，于是可得盒子的容积为图1.3图1.6例求证(qiúzhèng)f(x)=2x-5为增函数.证Df=(-∞,+∞)，在Df内任取两点x1,x2，且x1<x2，即x1-x2<0.现需证f(x1)<f(x2).事实上得f(x1)>f(x2)成立，故f(x)=1-lnx为减函数.(2)奇偶性对函数y=f(x)，若当自变量x改变符号(fúhào)时，函数值y也改变符号(fúhào)，即恒有f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数；若当x改变符号(fúhào)时，函数值不变号，即恒有f(-x)=f(x)，则称