第3章时域分析法教学提示：建立动态数学模型，是对控制系统进行理论研究的前提。数学模型建立之后，便可采用不同的方法来对系统的控制性能作全面的分析和计算。对线性定常系统，常用的方法有时域分析法、根轨迹法和频域分析法。时域分析法是最基本的一种方法，它具有直观、准确的优点。根据系统微分方程，用拉普拉斯变换直接解出动态过程，并依据过程曲线及表达式分析系统的稳、快、准等性能。3.1典型输入信号及性能指标控制系统的动态过程即响应用c(t)表示，它不仅取决于系统本身的结构、参数，而且和系统的初状态以及加于系统上的外作用有关。初状态及外作用不同，响应便不同。实际上，控制系统的外加输入信号和承受的干扰各不相同，初始状态也各不相同。为了便于分析和比较系统的优劣，通常对外作用和初状态作一些典型化的处理，使控制系统的分析研究更加科学、简便、合理。3.1.1典型输入信号典型输入信号是众多而复杂的实际外作用信号的近似和抽象，它的选择不仅使数学运算简单，而且还便于用实验验证。理论研究者相信它，是因为它是实际信号的分解和近似；实际工作者接受它，是因为实践证明它确实是一种有效的手段。常用的典型输入信号有如下4种。1.单位阶跃函数1(t)如图3.1(a)所示，其数学表达式为1t≥01(t)=0t＜0则其拉氏变换为1[1(t)]=Ls指令突变、合闸、负荷突变等均可视为阶跃作用。实际系统分析中，常用阶跃作为输入信号来反映和评价系统的动态性能，是应用较多的一种典型输入信号，也称为常值信号。2.单位斜坡函数t如图3.1(b)所示，其数学表达式为·50·自动控制原理与应用tt≥0f(t)=0t＜0则其拉氏变换为1[f(t)]=Ls2数控机床加工斜面的进给指令、机械手的等速移动指令均可视为斜坡作用，单位斜坡信号亦称等速信号。3.单位脉冲函数δ(t)如图3.1(c)所示，其数学表达式为t=0(t)=0t0且定义0_δ()tdt=10则其拉氏变换为L[δ()t]=1δ(t)是一种脉冲值很大、脉冲强度(面积)有限的短暂信号。实际的脉冲信号、撞击力、武器弹射的爆发力等，均可视为理想脉冲信号。4.正弦信号asinωt如图3.1(d)所示，则其拉氏变换为AL[asint]=s22实际控制过程中，电源、振动的噪声及海浪对船舶的扰动力等，均可视为正弦作用。(a)单位阶跃信息(b)单位斜坡信号(c)单位脉冲信号(d)正弦信号图3.1典型输入信号3.1.2典型初状态规定控制系统的初状态为典型初状态，即c(0-)=c(0-)=c(0-)=…=0·50·第3章时域分析法·51·这表明，在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。3.1.3典型时间响应初始状态为零的系统，在典型输入信号作用下的输出量，称为典型时间响应。1．单位阶跃响应系统在单位阶跃信号1(t)作用下的响应，称为单位阶跃响应，用h(t)表示。取系统的闭环传递函数为Φ(s)，则单位阶跃响应的拉氏变换为1()()()sRsss则响应为-11h()()tLs(3-1)s2．单位斜坡响应系统在单位斜坡信号f(t)=t作用下的响应，称为单位斜坡响应，用Ct(t)表示。则单位斜坡响应的拉氏变换为1()()()sRsss2则响应为1C()()t-1s(3-2)tL2s3．单位脉冲响应系统在单位脉冲信号()t作用下的响应，称为单位脉冲响应，用k(t)表示。则单位脉冲响应的拉氏变换为()sR(s)=()s·1=()s则响应为1k(t)=L-[()s](3-3)可见系统的单位脉冲响应就是系统传递函数的拉氏反变换。和传递函数一样，单位脉冲响应只由系统的动态结构及参数决定，k(t)也可认为是系统的数学模型。3.2一阶系统分析由一阶微分方程描述的系统，称一阶系统。它是工程中最基本、最简单的系统，如一阶RC网络、发电机、热处理炉、水箱等，均可近似为一阶系统。·51··52·自动控制原理与应用3.2.1一阶系统的数学模型一阶系统的微分方程为dc(t)Tc()()trt(3-4)dt式中：T为时间常数。一阶系统的动态结构如图3.2所示。其闭环传递函数为图3.2一阶系统动态结构图C(s)1(s)=(3-5)R(s)Ts13.2.2一阶系统的单位阶跃响应由式(3-5)变换可得11C()()()s