第十四章曲线积分、曲面积分与场论教学目的与要求1掌握两类曲线积分和两类曲面积分的定义及相互联系；2掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算；3掌握Green公式SKIPIF1<0公式和SKIPIF1<0公式，并能应用它们来求第二类线面积分；4理解曲线积分与路径无关的含义；5了解外微分的定义及应用；6了解场论初步的基本知识。教学重点1两类曲线积分和两类曲面积分的计算；2Green公式SKIPIF1<0公式和SKIPIF1<0公式的应用；3曲线积分与路径无关的条件。教学难点1两类曲线积分互化和两类曲面积分互化；2曲线积分与路径无关的条件。§1第一型曲线积分和第一类面面积分教学目的1掌握第一类曲线积分和第一类曲面积分的定义；2会求曲面的面积。教学过程背景:几何体的质量:已知密度函数,分析线段、平面区域、空间几何体的质量1第一类曲线积分1.1定义(P294----295)1.2性质(P295)1.3计算(P295----296)例1设SKIPIF1<0是半圆周SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.例2设SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上从点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的一段.计算第一型曲线积分SKIPIF1<0.空间曲线SKIPIF1<0上的第一型曲线积分:设空间曲线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.函数SKIPIF1<0连续可导,则对SKIPIF1<0上的连续函数SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0.例3计算积分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是球面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0截得的圆周.解由对称性知,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(注意SKIPIF1<0是大圆)2曲面的面积P298----3043第一型曲面积分3.1定义(P304----305)3.2计算SKIPIF1<01设有光滑曲面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的连续函数,则SKIPIF1<0.例4计算积分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是球面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所截的顶部.例5求SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是球面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线。解法1SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解法2求曲线SKIPIF1<0的参数方程。由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是得到两组参数方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和SKIPIF1<0都具有轮换对称性，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解法3作坐标旋转。就坐标是SKIPIF1<0，新坐标是SKIPIF1<0，旋转角为SKIPIF1<0，则旋转变换的一般公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为平面SKIPIF1<0的单位法矢为SKIPIF1<0，则它与SKIPIF1<0轴的夹角余弦为SKIPIF1<0。下面分两步进行旋转，先将SKIPIF1<0平面旋转SKIPIF1<0，得新坐标系SKIPIF1<0；再将SKIPIF1<0平面旋转SKIPIF1<0，得新坐标系SKIPIF1<0。即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由旋转公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPI