高等数学（二）复习指导第十章曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分一、基本要求及重点、难点1.基本要求(1)了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。(2)了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。(3)掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积分的计算方法，及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方法。(4)掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分的原函数。(5)了解第一类曲面积分（即对面积的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。(6)掌握高斯公式的条件与结论，并会利用高斯公式计算第二类曲面积分。2.重点及难点（1）重点：(a)熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。(b)熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分。(c)格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。(d)曲线积分与路径无关的概念及条件。(e)高斯公式（熟练使用高斯公式计算曲面积分）。（2）难点：(a)两类曲线积分的关系。(b)格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。(c)高斯公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲面的添加）。二、内容概述1、曲线积分的基本概念与性质(1)对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）定义设f(,xy)在xOy面内的光滑曲线L上有界.第一类曲线积分为nf(,xyds)=limf(ξηii,)Δsi(见课本).∫Lλ→0∑i=1Γ为空间曲线时，类似地有高等数学学习指导nf(,xyzds,)=limf(ξηζiii,,)Δsi.∫Γλ→0∑i=1物理意义设曲线L的线密度为ρ(,xy)，则其质量为M=ρ(,xyds)∫L性质1运算性质[f(,xy)±=gxy(,)]dsf(,xyds)±gxyds(,)∫∫∫LLLkf(,xy)ds=kf(,xy)ds其中k为常数．∫∫LL性质2对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关，即∫∫f(x,y)ds=f(x,y)ds．LL−性质3对积分路径具有可加性，即f(,xyds)=+++f(,xyds)f(,xyds)f(,xyds)∫∫∫LLL∫L12k其中LLL=+++12Lk．(2)对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）定义设Pxy(,),(,Qxy)在xOy面内的有向光滑曲线L上有界.nPxydxQxydy(,)+(,)=Δ+Δlim[]PxQy(ξηii,)i(ξηii,)i．∫Lλ→0∑i=1Γ为空间曲线时，类似地有PxyzdxQxyzdy(,,)++(,,)Rxyzdz(,,)∫Γn=Δ+Δ+Δlim[]PxQyRz(,,)ξηζiiii(,,)ξηζiiii(,,)ξηζiiii.λ→0∑i=1物理意义变力FPxyiQxyj=+(,)(,)沿曲线L所作的功为WPxydxQxydy=+(,)(,)．∫L性质1对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即∫∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=−P(x,y)dx+Q(x,y)dy．LL−性质2对积分路径具有可加性，即Px(,ydx)+=Qx(,ydy)Px(,ydx)+Qx(,ydy)∫∫LL1高等数学（二）复习指导第十章曲线积分与曲面积分+++++PxydxQxydy(,)(,)PxydxQxydy(,)(,)∫∫LL2k其中L=L1+L2++Lk．（3）两类曲线积分之间的关系平面曲线L上两类曲线积分有如下关系PxydxQxydy(,)+(,)=+[(,)cosPxyαβQxy(,)cos]ds∫L∫L其中α(x,y),β(x,y)为平面有向曲线L上点(x,y)处的切线向量的方向角．空间曲线Γ上两类曲线积分有如下关系PxyzdxQxyzdy(,,)++(,,)Rxyzdz(,,)∫Γ=++[(,,)cosPxyzαβγQxyz(,,)cosRxyz(,,)cos]ds∫Γ其中α(,xyz,),(,βγxyz,),(,xyz,)为空间有向曲线Γ上点(,xyz,)处切向量的方向角．2、曲线积分的计算公式(1)对弧长的曲线积分（1）设函数f(,xy)在平面曲线Lx:=φ(t),y=ψ(t),(α≤≤tβ)上连续φ′′(),ttψ()在区间[α,β]上连续，且φψ′′22()tt+()≠0，则β22f(xyds,)=+f[]