第11章曲线积分与曲面积分11.1教学基本要求(1)理解两类曲线积分的概念.了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.(2)会计算两类曲线积分.(3)掌握格林公式，理解并会运用平面曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分，会判定并会求全微分的原函数，会用二元函数全微分求积的方法求解全微分方程.(4)了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法；了解高斯公式和斯托克斯公式，并会用高斯公式计算第二类曲面积分.(5)了解散度与旋度的概念，并会计算.(6)会用曲线积分及曲面积分表达并计算一些几何量和物理量(如曲线的弧长、曲面的面积、平面闭区域的面积、质量、质心、转动惯量、变力沿曲线所做的功、环流量等).11.2本章导学曲线积分与曲面积分分别是将积分概念推广到积分范围为一段曲线弧和一片曲面的情形，它们是积分学中较难的一部分内容.它们的计算最终将转化为定积分或重积分的计算.因此，熟练掌握定积分或重积分的计算方法，是学好本章的必要保证.本章的重点是曲线积分和曲面积分的计算，难点是利用斯托克斯公式计算空间闭曲线积分.曲线积分按积分域是无向曲线段还是有向曲线段而划分为第一类曲线积分(即对弧长的曲线积分)和第二类曲线积分(即对坐标的曲线积分)，直接计算两类曲线积分的方法是：通过积分弧段的参数方程化为定积分，但要注意它们在具体计算时的不同之处：第一类曲线积分化为定积分后，下限一定要小于上限；第二类曲线积分化为定积分后，下限为起点参数.这种计算曲线积分的“参数法”实际上是对曲线积分进行了一次换元.还可以利用格林公式计算平面曲线积分，特别是在直接计算曲线积分有困难甚至无法进行的时候.利用斯托克斯公式可以计算空间闭曲线积分.要熟练掌握利用格林公式计算曲线积分的方法.格林公式是本章的一个重要的公式，它建立了平面闭曲线积分与二重积分的联系，由格林公式可以得出一些重要的结论：平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数的全微分求积，并由此可以得到平面曲线积分与路径无关的四个等价命题，因此格林公式无论在应用上还是在理论上都具有重要的价值，一定要掌握.同时要注意到两类曲线积分之间是可以互相转换的，它有利于一些问题的探讨.曲面积分按积分域是无向曲面还是有向曲面(即双侧曲面的一侧)而划分为第一类曲面积分(即对面积的曲面积分)和第二类曲面积分(即对坐标的曲面积分)，直接计算两类曲面积分的方法是：通过曲面的方程化为二重积分.第一类曲面积分化为二重积分时要注意面积元表达式与积分区域的确定；第二类曲面积分化为二重积分时要特别注意曲面的侧及有向第11章曲线积分与曲面积分·235··235·面积元在坐标面上的投影，由此确定在二重积分前添加正号或负号.当直接计算曲面积分有困难时，可以利用高斯公式来计算曲面积分，其用法与利用格林公式计算曲线积分的方法类似.高斯公式是本章的第二个重要公式，它建立了曲面积分与三重积分的联系，从而化简了曲面积分的计算.有时利用两类曲面积分之间的关系也能化简曲面积分的计算.要注意掌握化简计算两类曲线积分和曲面积分的方法.斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式是斯托克斯公式的特例，高斯公式是格林公式推广到空间闭区域上的表达形式，它们给出了不同积分域上的积分与其边界上的积分之间的联系，这一点与牛顿—莱布尼茨公式相似.在应用这三个公式时要注意满足公式的条件.本章还介绍了曲线积分与曲面积分的应用，利用元素法可以得到应用的一些重要公式，除了要理解这些公式的意义，同时掌握这些公式对于这两种积分的应用也是十分必要的.本章的定义、性质、公式较多，内容较复杂，计算方法也较灵活，掌握起来可能比较困难，因此，学习时首先要理解这些概念和公式，同时在学习上要注意不断归纳总结，以便更好地掌握本章内容.11.3知识点精要11.3.1曲线积分1.对弧长的曲线积分的概念、性质及计算(1)定义.设()fxy，和()fxyz，，分别是定义在平面内的一条光滑曲线弧L和空间光滑曲线弧Γ上的有界函数，则它们在各自曲线上对弧长的曲线积分(或称为第一类曲线积分)分别定义为(以下总假设等式右端的极限存在)()01()dlimniiiLifxysfsλξη→==Δ∑∫，，；()01()dlimniiiiifxyzsfsΓλξηζ→==Δ∑∫，，，，，其中isΔ为第i个小弧段的长度，()iifξη，与()iiifξηζ，，