有限元法与程序设计原则第一部分有限元方法2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则一、基本思想：“以直代曲”，离散体替代连续体冲头压边圈凹槽凹模模腔拉伸筋压料面图2板料变形过程凹槽圆角凹槽图1压机、压边圈及板料2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则二、适用领域：几乎所有的工程领域，用途最多的是结构工程、材料科学领域。三、列式方法（以结构工程领域为例）{}数学基础――虚功原理或最小势能原理：(1)1TT?P??{?}T{?}dV???u????dV???u???dA?VVA2其中：{?}为构形的应变；{?}为构形的应力；{u}为构形的虚位移；?为构形上所受的面力；??为构形的体力；?P为构形的势能。2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则对于线弹性问题而言，构形就是线弹性体。某构形处于平衡状态时，其势能应为最小，即??P??{??}T{?}dV??{?u}T{?}dA??{?u}T{?}dV?0VAV2004年吉林大学车身与模具工程研究所0?P??(2)(3)有限元法与程序设计原则六大主要求解步骤1、离散化过程：将连续体或结构人为地划分成有限个单元，并假定单元之间通过有限个节点相互连接。2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则2、单元分析：计算单元刚度矩阵和等效节点载荷向量这一步是有限元方法的最最关键部分。对于结构分析领域，要用到下面三个基本关系式：（i）几何关系（单元内任一点位移与应变的关系）{?}?[L]{u}???x（4）其中，[L]为微分算子，对于最简单的一维两结点的线单元[L]1?12004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则(ii)本构关系（单元内任一点的应变与应力的关系）{?}?[D]{?}e（5）[De]为弹性矩阵(虎克矩阵），对于一维的线单元[D]1?1?E(弹性模量)e2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则(iii)插值关系（也就是单元内任一点的位移与单元结点位移的关系）选择位移插值函数：在单元内假定一种简单的位移插值函数，通常是多项式函数。将单元内任意点的位移表示为节点位移的以下插值形式：?u???N?{u}e（6）其中，[N]为插值形函数，它的形式与所取的位移向量有关。这一步必须给出形函数[N]矩阵的确定形式（举例）。2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则应变矩阵的概念：（单元节点位移与应变之间的关系矩阵）由（4）和（6）式，有????[L]?u???L??N??ue???B??ue?[B]?[L][N](7)即应变矩阵(8)这里需要注意到通常是用自然坐标表示的，如对整体坐标求偏导数时要用到连锁规则。（举例）2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则将（4）～（6）式代入（3）式，得到??P??{??}T{?}dV??{?u}T{?}dA??{?u}T{?}dVVAV??{?ue}T[B]T[De][B]{ue}dv?(?{?ue}T[N]T???dV??{?ue}T[N]T???dA)VVA（9）?{?ue}T(?[B]T[De][B]dv){ue}?{?ue}T(?[N]T???dV??[N]T???dA)?0VVA于是，得到单元刚度矩阵为eV?K???[B][D][B]dvTe（10）然后进一步将单元刚度矩阵表示成数值积分形式，通常是用高斯积分，须注意到该积分通常也是用自然坐标表示的，积分微元之前须带有变换系数，即Jacobi行列式（举例）。2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则同理，得到单元的等效节点载荷向量（右端项）?P???[N]???dV??[N]???dA（11）eTTVA由（9）～（11）式，考虑到{?u}的任意性，得到离散化后的单元水平上的方程e[K]{u}?{P}eee（12）2004年吉林大学车身与模具工程研究所有限元法与程序设计原则3、组集单元矩阵形成整体方程将单元刚度方程按照“对号入座”的技巧组装起来，就得到总体刚度方程[K]{u}?{P}即（13）e(14)总刚通常采用紧缩存储方式（有许多现成的存储程序和求解器）。刚度阵的特点：对称、正定、对角严格占优。e?1e?1?[Ke]{u}??{P