第四章4.5.1A组·素养自测一、选择题1．下列函数的图象中没有零点的是(D)[解析]从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D．2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(D)A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解[解析]∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上不一定有实数解．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为(D)A．eq\f(1,2)，0B．－2，0C．eq\f(1,2)D．0[解析]x≤1时，2x－1＝0，∴x＝0，x>1时1＋log2x＝0，x＝eq\f(1,2)<1，∴f(x)的零点为0.二、填空题5．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是0，eq\f(1,2)．[解析]∵f(x)＝x＋b的零点是2，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(1,2).6．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1（x≤0）,3x－4（x＞0）))的零点的个数为2．[解析]当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1（x≤0）,3x－4（x＞0）))有2个零点．三、解答题7．已知函数f(x)＝1＋eq\f(1,x)－xα(α∈R)，且f(3)＝－eq\f(5,3).(1)求α的值；(2)求函数f(x)的零点．[解析](1)由f(3)＝－eq\f(5,3)，得1＋eq\f(1,3)－3α＝－eq\f(5,3)，∴α＝1.(2)由(1)得f(x)＝1＋eq\f(1,x)－x，令f(x)＝0，得1＋eq\f(1,x)－x＝0，即eq\f(x2－x－1,x)＝0，∴x＝eq\f(1±\r(5),2)，∴f(x)的零点为eq\f(1＋\r(5),2)和eq\f(1－\r(5),2).B组·素养提升一、选择题1．(2021·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x－2有零点的一个区间是(C)A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[解析]f(1)＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)<0，f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋eq\f(3,2)－2＝ln3－eq\f(1,2)>0.∴f(2)·f(3)<0，故选C．2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(CD)A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内的零点个数不确定[解析]根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B错误，D正确；若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错误，C正确．故选CD．二、填空题3．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为2．[解析]函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝(eq\f(1,2))x的根的个数⇔函数y＝|log0