第一章预备知识随机过程通常被视为概率论的动态部分。在概率论中研究的随机现象，都是在概率空间(,,)FP上的一个或有限多个随机变量的规律性。涉及中心极限定理时也不过是随机变量序列的讨论。在实际问题中，我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程，即随时间不断变化的随机变量，而且，所涉及的随机变量通常是无限多个（甚至有时与时间一样多，因而是不可数的）。1.1概率空间概率论的一个基本概念是随机试验：其结果在事先不能确定的试验。随机试验具有三个特征：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能的结果；（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为。中的元素称为样本点或基本事件，的子集A称为事件。样本空间称为必然事件，空集称为不可能事件。定义1.1：设是一个样本空间，F是某些子集组成的集合族，如果满足：（1）F；（2）若AF，则AAFc\；（）若，，则。3AFnn1,2,AFnn1则称为-代数。(,)F称为可测空间，中的元素称为事件。如果为-代数，则：（1）F；。（）若，，则。2AFnn1定义1.2：设。由所有半无限区间(,)x生成的-代数（即包含集族(,xx),的最小-代数）称为上的波莱尔（Borel）-代数，记为B()，其中的元素称为波莱尔集合。类似地可定义n上的波莱尔-代数B()n。定义1.3：假设对样本空间的每一个事件定义了一个数PA()，且满足以下三条公理：-1-（1）非负性：0PA()1；（2）规范性：P()1，P()0；（3）可列可加性：对任意的两两互不相容事件AA12,,，即AijA,ij，有PAPA()()iii1i1则称P是上的概率，(,,)FP称为概率空间，PA()称为事件的概率。由公理（1）（2）（3）及定义可知概率具有如下几点性质：（1）若ABF,，则PABPAPBPAB()()()()（加法公式）；（2）若，且AB，则PAPB()()（单调性）；（3）若，则P()()()BAPBPAB；当，则PBAPBPA()()()（减法公式；差事件：B发生而A不发生）；A（）若，则（Boole'sinequality，布尔不等式：4AnF,1nPAPA()()nnn1n1假定一些事件组成了一个可数的集合，那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件发生的概率的和。）；当两两互不相容时，则；Ann,1,2,PAPA()()nnn1n1概率函数的一个重要性质是连续性，为了更精确地阐明这一性质，需要引进极限事件的概念。定义如下：若AnnA1,1n(,)，称事件序列FAnn,1为递增的；当AnnA1,1n，则事件序列为递减的。如果是一递增的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为limAn：nlimAAni；ni1如果是一递减的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为：limAAni。ni1现在，我们开始讨论以下几个命题：命题1.1：如果是递增或递减的事件序列，则-2-limP(Ann)p(limA)nn证明：首先假设是递增的事件序列，并定义事件Cnn,1为CA11n1ccCnAn(Ai)AnAn1,n1i1即Cn由包含在An中但不在任何前面的Ai()in中的元素组成。容易验证是互不相容事件（请验证），满足nnCiAi,CiAi,n1i1i1i1i1则nnnPAPCPCPCPCPAPA(i)(i)()limi()lim(ii)lim(i)lim()nnnnni1i1ii11i1i1这证明了是递增的事件序列时的结论。如果是递减的事件序列时，则Anc,1是递增的事件序列，因此nP(Acc)p(limA)inni1但因AAcc()，则iiii11Ann,1c1P(A)1p(lim)AnP(Ai)p(lim)Aninnii11是递减的事件序列时的结论得证。定义1.4：设AnF,1n，所有属于无限