长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足，为虚数单位，则（）A.B.C.D.3.已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（）A.B.C.D.4.若，且，则（）A.B.C.D.5.据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大样本点后，的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.16.在四面体中，，，，，则该四面体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.7.已知圆O的半径为1，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的最小值是（）A.B.C.D.8.设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.的取值范围是B.在区间上有且仅有3个不同的零点C.的最小正周期可能是D.在区间上单调递增10.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，A，B是C上异于点O的两点，O为坐标原点，则（）A.的方程为B.若，则的面积为C.若，则D.若，过AB的中点D作于点E，则的最小值为11.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到的距离分别为，则（）A.平面B.平面平面C.直线与所成角比直线与所成角大D.正方体的棱长为12.已知，正实数，且，则（）A.最大值为2B.的最小值为5C.的最小值为D.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设直线是曲线一条切线，则_________．14.楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15.过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线与另一条渐近线交于点B．且点A，B位于x轴的异侧，O为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为__________．16.小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项．（1）求的通项分式；（2）证明：．18.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．（1）求A；（2）已知的面积为，设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度．19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由．20.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．（1）证明：；（2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．21.已知，D是圆C：上的任意一点，线段DF的垂直平分线交DC于点P．（1）求动点P的轨迹的方程：（2）过点的直线与曲线相交于A，B两点，点B关于轴的对