简谐振动的运动学本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。一.简谐振动的运动学方程由牛顿第二定律知：即：再令得：方程的通解为：⑴⑴式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。二.描述简谐振动的物理量1.周期（T）完成一次全振动所用的时间：对弹簧振子：2.频率（）单位时间内完成的全振动的次数：的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即：圆频率。3.振幅物体离开平衡位置的最大位移。振幅可以由初始条件决定。如：t=0时刻，，由⑴式可得：,∴⑵4.位相和初位相振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道才能完全决定系统的运动状态。叫简谐振动的相位。当时，叫初相位。由：⑶若：已知初始条件：，则⑶式有：⑷⑸⑷，⑸式中的任意一个即可确定初位相。相位差：两振动相位之差。讨论：⑴若是的整数倍，则振动同相位；⑵若是奇数倍，则振动相位相反；⑶若，则称超前；⑷若，则称落后。相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。例1：一弹簧振子，时，求振动的初位相。解：∴在第一象限，例2：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。解：设：，则：所以：速度的位相比位移的位相超前加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。总结：⑴简谐振动是周期性运动；⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A圆频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。三.简谐振动的图象：图线描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。中学里经常做正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。四.简谐振动的矢量表示法：用旋转矢量的投影表示简谐振动。如图示：为一长度不变的矢量，的始点在坐标轴的原点处，记时起点t=0时，矢量与坐标轴的夹角为，矢量以角速度逆时针匀速转动。由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。⑵矢端的速度大小为，在x轴上的投影为：⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：，在x轴上的投影：总结：旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法。一.同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：合位移：令：∴上式=⑴⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同。或者：由简谐振动的旋转矢量法表示：、以频率旋转，、之间的夹角不变，也以旋转，平行四边形的形状不变。讨论：⑴若相位差，即同相位，则：，振幅最大；⑵若相位差，即反相位，则：，振幅最小；⑶一般情况下，振幅A介于与之间。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。二.同方向不同频率简谐振动的合成若：两振动的周期之比：，n，m有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动,由旋转矢量图可知。若：周期之比,不是整数比（如：无理数之比)，则合振动没有周期性。为了简单方便，设：⑵假如：，则：的周期远大于的周期。令：则⑵式就成为：⑶⑶式可以看作：振幅按照缓慢变化的，而圆频率等于的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。令：叫平均圆频率，叫调制圆频率。⑶式就成为：式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化。拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。合振动变化一个周期叫一拍；单位时间内拍出现的次数叫拍频。不论达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为调制圆频率的两倍：∴∴拍频为：问题：若二分振动的振幅不同，但初位相仍都为零，则合振动仍会形成拍吗?三.互相垂直相同频率简谐振动的合成二分振动方程如下：⑷合成的振动表示：质点既沿轴运动，又沿轴运动，实际上在平面上运动。⑷式中消去时间t，得质点运动的轨迹：⑸此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅和以及初位相差所决定。讨论：（１）分振动相位相同或相反时①.相位相同，即：或则⑸式成为：⑹则⑹式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任意一点的位移r为：上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为。②.相位相反，即