复合函数的求导法则及其应用学生姓名：陈昊学号：20105031118数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：杨金根职称：讲师摘要：本文根据复合函数的不同类型，推导了复合函数的求导法则，并结合例题探讨了复合函数的求导法则的应用．关键词：复合函数;求导法则;应用DerivationMethodofthecompositefunctionanditsApplicationAbstract:Inthispaper,thederivativeruleofcompositefunctionarededucedforthetypeofcompositefunction,andtheapplicationsoftheserulesarediscussedwithsomeexamples.KeyWords:compositefunction;derivationrule;application0前言微积分所要研究的主要对象是初等函数．所谓初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而构成的.对于由有限次四则运算构成的初等函数的结构是很容易掌握和理解的，其导数的计算直接利用导数的四则运算法则.但是对于由复合运算构成的初等函数，必须要深入的理解和掌握复合函数的定义，才能准确地运用它的导数计算公式.1复合函数的求导法则1.1复合函数求导法则定理1设函数在可导．而函数在处可导，则复合函数在可导，且有：,证明由在可导也即可微,即,令，则,，又由在可导，因此，而，于是.复合函数的求导法则可以写成即因变量对自变量求导，等于应变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则.复合函数的微分公式为.1.2复合函数求导法则推广设，，，则复合函数的导数为：.例1求函数的导数.解由于,.所以.例2求函数的导数.解.例3求函数的导数.解由于，所以.2初等函数的求导问题2.1常数和基本初等函数的求导2.2函数的和、差、积、商的求导法则设，可导，则，，，.2.3复合函数的的求导法则设，而则复合函数的导数为或.例4求函数的导数.解3隐函数的导数定理2设满足隐函数存在唯一性定理中的所有条件，又设在上还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在其定义域上有连续导函数，且.证设与都属于，它们所对应的函数值与都含于内.由于，，因此由，的连续性以及二元函数中值定理，有，其中.因而，注意到上式右端是连续函数，与的复合函数，而且在上不等于零，故有，且在上连续.例5求由方程确定隐函数的导数．解,,.4对数求导法先在方程两边取对数，然后运用隐函数的求导方法求出导数.例6设，求.解等数两边取对数得,上式两边对求导得,.例7设，求.解等式两边求对数的,上式两边对求导得,.5参数形式的函数求导公式定义2若参数方程确定与间的函数关系，称此为参数形式的函数.参数形式的函数求导：在方程中，设和在上可导，在上严格单调且，由反函数求导法则，在上存在反函数，且成立，从而.由复合函数求导法则：,即.也可以直接求微分,,两边相除，得.例8求摆线在处的切线方程.解由求导法则得,.当时，，.得，即.小结本文给出了复合函数的求导法则，并通过一些例题分析了求导法则的应用.参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析第四版（上册）[M]．高等教育出版社，2010．[2]华东师范大学数学系.数学分析第四版（下册）[M]．高等教育出版社，2003[3]华东师范大学数学系．数学分析第三版（上册）[M]．北京：高等教育出版社，2004．．[4]华东师范大学数学系．数学分析第三版（下册）[M].北京：高等教育出版社，2004．