高中数学必修⑤第三章复习精讲广东谭渊一、不等式的基本性质1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据，它们都是不等式同解变形的基础．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数不等号不变，若是同乘以（或除以）一个负数则不等号反向．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方（或开方）时，要求不等式两边均为正数．3．应用不等式的性质证明不等式一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的．如果是有等号的，还应注意两端能否取“=”．5．实数的运算性质与作差比较法的一般步骤：（1）实数的运算性质与大小顺序之间的关系．（2）作差比较法是比较两个实数（代数式）大小的基本方法，它的一般步骤是：①作差；②变形；③判断．二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的代数解法当时，若方程的两实根，则不等式的解集为，不等式的解集为；若方程的两实根，则不等式的解集为，不等式的解集为；若方程无实根，则不等式的解集为，不等式的解集为．2．用数形结合法解一元二次不等式解一元二次不等式或反映在图形上就是考查二次函数的图象与轴的关系（在其上方还是在其下方），利用数学的基本思想——数形结合思想，理解、认识一元二次不等式，以帮助我们熟练解决问题，提高解决数学问题的速度．用数形结合法解一元二次不等式的步骤如下：（1）转化原不等式，使之通过变形后成为标准形式．（2）找到相应方程的根．（3）通过相应的二次函数的图象，写出不等式解集．3．利用不等式的“解”求一元二次不等式利用不等式的“解”求一元二次不等式是解一元二次不等式的逆向思维的体现，主要是根据函数图象与x轴的交点、一元二次方程的根与系数的关系，来求解．例设不等式的解集是，求不等式的解集．解：由题意可知，，，由此可得，，，故的解集是．三、二元一次不等式（组）与简单线性规划1．画不等式表示的平面区域图是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线画成虚线．2．二元一次不等式组表示的区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．3．线性目标函数的几何意义：是直线在轴上的截距．4．简单的线性规划理论在实际问题中的应用一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该任务．常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题．解线性规划的实际问题，关键在于根据条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解．5．线性规划中求整数解问题通常有以下解法：一是平移找解法；二是代入验证法；三是优值调整法．四、基本不等式1．不等式和成立的条件：前者只要都是实数，后者要求都是非负实数．这两个公式都是带有等号的不等式，当且仅当时“=”成立，也就是说，当时取等号．2．两个正数，若它们的积为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的和有最小值．3．两个正数，若它们的和为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的积有最大值．4．用基本不等式求最值应注意：一“正”、二“定”、三“相等”三个条件．一“正”是指函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数，如不是，则进行变号转换；二“定”是指函数式中，含变量的各项和或积必须是常数，才能利用基本不等式求最值；如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数；三“相等”是指函数式中，含变量的各项相等，才能利用基本不等式求最值．即相等时，变量字母有实数解，且解在定义域内．否则说明拆项、分解不当，应重新拆项、分解或改用其他方法．5．常见错例剖析例1已知，且，求的最小值．解：，的最小值为．例2已知，且，，，，求的最小值．解：，的最小值为．试问以上两题的解答是否正确，若正确，说明理由；若错误，请给出正确答案．分析：（1）不正确．在两次使用基本不等式时，前者取“＝”条件是，即；后者取“＝”条件是，字母在同一变化过程中前后取值不一致，故为错解；（2）不正确．解答中用到，当且仅当时取“＝”；，当且仅当时取“＝”，由已知，，这样就推出，与已知矛盾，故也为错解．正解：（1），当且仅当，即时取“=”，故的最小值为．（2）．等号成立的条件是，即或，这样与已知并不矛盾，．由此得的最小值为．（本题亦可用三角代换，设，，，，）点评：①在同一变化过程中两次使用基本不等式时，必