第三章复习之导数的应用山东李娟１．导数与函数的单调性、极值（1）画出函数的图象如右图，结合图象即可得到导函数值的符号，导数的几何意义，与函数的单调区间，单调性以及函数的极值的情况如表1．表1：（2）结合图象与图表可得导数符号、几何意义、函数的单调性、极值的关系.①导数值在某区间上为正，则其相应函数单调递增，导数值在某区间上为负，则其相应函数单调递减；②导数值左正右负，导数为零的点是极大值点；导数值左负右正，导数为零的点是极小值点；③函数值左增右减，相应导数为零的点是极大值点；函数值左减右增，相应导数为零的点是极小值点；④切线在附近“左下右上”，其函数为增函数；切线在附近“左上右下”，其函数为减函数；⑤导数为０的点不一定是极值点；如在点的导数为０，但是，这一点不是极值点．2．导数与函数的最值求最值的步骤：（1）求极值；（2）端点函数值与极值加以比较，从而找到最大值与最小值，同时也给出了求函数的值域的方法.例1已知函数．求的单调区间和值域．解：对函数求导，得．令，解得或1．当变化时，的变化情况如表2：表2：所以当时，是增函数；当时，是减函数．因此，当时，的值域为．3．导数在实际问题中的应用举例例2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？解：设船速为x公里/小时（），燃料费为Q元，由题意，则，得，所以．每公里总费用，．令，得，因为函数在内只有唯一的极值点，所以当船速为20公里/小时，航行每公里的总费用最小．评注：（1）解题步骤：①从实际问题中抽象出函数模型，即；②求导数；③把导数与实际意义结合起来给出答案；（2）有关生活中求用料最省、效率最高、利润最大等问题，统称为生活中的优化问题，解决的方法有导数法、二次函数法、不等式法等；但是导数是求最值的有力工具，若以其他方法解，有时就会非常麻烦．