高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______反常积分、定积分应用（一）1、求无穷限积分（）。(过程略)2、求瑕积分。3、求由曲线与所围成图形的面积。求由曲线和直线，所围成的平面图形的面积。或（请自己画草图，体会两种不同的求法）5、抛物线与其在点和处的切线所围成的图形的面积。解：过点的切线方程为，而过处的切线方程为故求的两切线交点为，则所要求图形的面为：6、设椭圆的参数方程为，求椭圆的面积。解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）7、在上给定函数，问取何值时，右图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最小？何时最大？高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______定积分应用（二）求由曲线和围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。解：分别求由曲线,及轴所围成的图形绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积。解：绕轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体的体积求由曲线和直线、所围成的平面图形分别绕轴和轴旋转的旋转体的体积。解：图形绕轴旋转而成的旋转体的体积图形绕轴旋转而成的旋转体的体积4、求曲线所围成的图形绕轴旋转的旋转体体积。（参考课本（4）的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔）解：图形绕轴旋转的旋转体体积5、已知一抛物线过轴上的两点：（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于轴与该抛物线所围图形的面积。（2）计算上述两个平面图形绕轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。略。（由于没给出抛物线二次项的系数a，本题大家可以随意选个非零的a来做）求由曲线,，所围成的图形绕直线旋转而成的旋转体的体积。解：（注意旋转体界面圆的半径是）设某产品的边际成本（万元/台）其中表示产量，固定成本为（万元），边际收益（万元/台），求：（1）总成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化。解：总成本函数为总收益函数为；由（1），利润函数为当可求得驻点为，而，因此当产量x=6台时，获得最利润；（略）高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______定积分综合一、选择题1、设函数在[]上连续，则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（C）（A）（B）（C）（D）2、设，，，则(D)（A）（B）（C）（D）3、设连续，，则(B)（A）（B）（C）（D）4、下列结果正确的是(B)（A）（B）（C）（D）5、设，则在上(B)（A）单调增加（B）单调减少（C）有增有减（D）无界6、设是连续函数，则=(A)（A）0（B）1（C）（D）若是连续函数且为奇函数，则是(B)（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇既偶函数8、下列反常积分发散的有(C)（A）（B）（C）（D）9、下列反常积分收敛的有(D)（A）（B）（C）（D）10、由曲线，（，）及直线，所围图形绕轴旋转而成立体的体积是(B)（A）（B）（C）（D）二、填空题1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：(1)=(2)-42、利用定积分的性质，填写下列各题：(1)651(2)3、设，则=。4、已知在上连续，且，且设，则-2。5、设由所确定，则=。6、设为连续函数且满足，则。7、求下列定积分(1)=(2)(3)13(4)(5)0(6)(7)=0(8)=28、若反常积分收敛，>1。9、某厂生产的边际成本函数，且固定成本，则总成本函数;当产量由2个单位增至4个单位时，总成本的增量是。高等数学II练习题________学院_______专业班级姓名__________学号_______一阶微分方程1、求的通解。解：原方程可化为积分，得（其中C’为任意常数）令，不难看出C为任意常数，故，方程的通解为（C为任意常数）求微分方程，满足的特解。解：原方程可化为积分得(其中C’为任意常数)即，令，不难看出C为任意常数，故原微分方程通解可表示为：，其中C为任意常数，当时，故满足条件的方程的特解为3、求微分方程的通解。解：方程可化为：所以微分方程的通解。解：当x>0时，原微分方程可等价为齐次微分方程设则有对应的通解为即（