高三专题复习——导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为(2)若可导函数在处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立(5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则;若，恒成立，则(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D若D恒成立则有(10)若对、，恒成立，则.若对，，使得,则.若对，，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①②③④⑤⑥考点一：导数几何意义：角度一求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0解析：选A由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，则a＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝3－2sineq\f(π,2)＋2coseq\f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3lnx＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是()A．(0,1)B．(1，－1)C．(1,3)D．(1,0)解析：选C由题意知y′＝eq\f(3,x)＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．角度三求参数的值3．已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于()A．－1B．－3C．－4D．－2解析：选D∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)x＋mx0＋eq\f(7,2)，m<0，于是解得m＝－2，故选D.考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。[典例1]已知函数f(x)＝x2－ex试判断f(x)的单调性并给予证明．解：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减，f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可．设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，当x＝ln2时，g′(x)＝0，当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0.∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2<0，∴f′(x)<0恒成立，∴f(x)在R上单调递减．[典例2](2012·北京高考改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．[解](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a＋1＝c，,g1＝1＋b＝c，,2a＝3＋b，))解得a＝b＝3.(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋eq\f(a2,4)x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋eq\f(a2,4)，令F′(x)＝0，得x1＝－eq\f(a,2)，x2＝－eq\f(a,6)，∵a>0，∴x1<x2，由F′(x)>0得，x<－e