高中数学选修4-5知识点1．不等式的大体性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系．(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点别离是A、B.当点A在点B的左侧时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b．(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)a>b⇔a－b>0a＝b⇔a－b＝0a<b⇔a－b<0(4)两个实数比较大小的步骤①作差；②变形；③判断差的符号；④结论．2．不等关系与不等式(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共5个．(2)相等关系和不等关系任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的．(3)不等式的概念：用不等号连接起来的式子叫做不等式．(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系．3.不等式的大体性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b，c∈R⇔a＋c>b＋c；(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)乘方式则：a>b>0，n∈N且n≥2⇒an>bn；nn(8)开方式则：a>b>0，n∈N且n≥2⇒a>b.11（9）倒数法则，即a>b>0⇒a<b.2．大体不等式1．重要不等式定理1：若是a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．大体不等式a＋b(1)定理2：若是a，b>0，那么ab2ab(≥ab)，当且仅当a＝b2时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，①若是它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值，S2最大值为.4②若是它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2P.a＋b3．大体不等式ab≤的几何解释2如图，AB是⊙O的直径，C是AB上任意一点，DE是过C点垂直AB的弦．若a＋bAC＝a，BC＝b，则AB＝a＋b，⊙O的半径R＝，Rt△ACD∽Rt△DCB，2a＋bCD2＝AC·BC＝ab，CD＝ab，CD≤R⇒ab≤，当且仅当C点与O点重合2ABa＋b时，CD＝R＝，即ab＝.224．几个常常利用的重要不等式(1)若是a∈R，那么a2≥0，当且仅当a＝0时取等号；（a＋b）2(2)若是a，b>0，那么ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．41(3)若是a>0，那么a＋a≥2，当且仅当a＝1时等号成立．ab(4)若是ab>0，那么b＋a≥2，当且仅当a＝b时等号成立．3．三个正数的算术-几何平均不等式1．若是a、b、c∈R，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号＋成立．a＋b＋c32．(定理3)若是a、b、c∈R，那么abc33abc(≥abc)，＋3当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．a＋a＋…＋an3．若是a，a，…，a∈R，那么12n≥aa…a，当且仅当12n＋n12na1＝a2＝…＝an时，等号成立．即对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均．二绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．绝对值及其几何意义a（a≥0）(1)绝对值概念：|a|＝－a（a<0）(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B别离对应实数x1，x2，则|AB|＝|x1－x2|．2．绝对值三角不等式(1)定理1：若是a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．推论1：若是a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.推论2：若是a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：若是a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法1．|x|<a与|x|>a型不等式的解法设a>0，则(1)|x|<a⇔－a<x<a；(2)|x|≤a⇔－a≤x≤a；(3)|x|>a⇔x<－a或x>a；(4)|x|≥a⇔x≤－a或x≥a．2．|ax＋b|≤c(c>0)与|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b