曲线运动测试三、典型例题例1．船在静水中的速度为υ，流水的速度为u，河宽为L。（1）为使渡河时间最短，应向什么方向划船？此时渡河所经历的时间和所通过的路程各为多大？（2）为使渡河通过的路程最短，应向什么方向划船？比时渡河所经历的时间和所通过的路程各为多大？分析：为使渡河时间最短，只须使垂直于河岸的分速度尽可能大；为使漏河路程最短，只须使船的合速度与河岸夹角尽可能接近900角。解：（1）为使渡河时间最短，必须使垂直于河岸的分速度尽可能大，即应沿垂直于河岸的方向划船，此时所渡河经历的时间和通过的路程分别为t1=d1==（2）为使渡河路程最短，必须使船的合速度方向尽可能垂直于河岸。分如下两种情况讨论：①当υ＞u时，划船的速度方向与河岸夹α角偏向上游方向，于是有υcosα=uL=υsinαt2d2=L由此解得：α=arccost2=L/d2=L②当υ＜u时，划船的速度方向与河岸夹β角偏向上游方向，于是又有ucosβ=υcosβ=L=·由此解得：β=arccos=Lu/υ=Lu/υ例2．如图9—3所示，在斜面上O点先后以υ0和2υ0的速度水平抛出A、B两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5分析：要注意到两球着地的几种可能。解：两小球分别以υ0和2υ0的初速度做平抛运动，于是有x1=υ0t1，x2=2υ0t2；y1=gt12，y2=gt22两小球着地情况有几种可能性：图9—3（1）均落在水平上，于是有y1=y2，可得x1：x2=1：2。故选A。（2）均落在斜面上，于是有y1/x1=y2/x2，可得x1：x2=1：4，故选C。（3）A球落在斜面上，B球落在水平面上，于是有t1＜t2和＞，可得1：2＞x1：x2＞1：4。故选B。综上所述：此例应选ABC。例3．如图9—4所示，两根细线把两个相同的小球悬于同一点，并使两球在同一水平面内做匀速圆周运动，其中小球1的转动半径较大，则两小球转动的角速度大小关系为ω1__________ω2，两根线中拉力大小关系为T1_________T2，（填“＞”“＜”或“=”)图9—4图9—5分析：摆球受力情况的分析是求解此例的基础解：两小球均做“圆锥摆”运动，如图9—5所示，其转动半径R=lsinθ，圆心在图中的O点，转动过程中小球实际所受的力为重力mg和线的拉力T，于是相应有Tcosθ=mg，Tsinθ=msinθ·ω2，而θ1＞θ2，l1cosθ1=l2cosθ2，故ω1=ω2，T1＞T2，即应该依次填写“=”和“＞”例4．如图9—6排球场总长为18m，设网高度为2.25m，运动员站在离网3m线上正对网前跳起将球水平击出。（1）设击球点的高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界。（2）若击球点的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求出这个高度。（g=10m/s2）分析：当击球点高度为2.5m时，击球速度为υ1时恰好触网；击球速度为υ2时恰好出界。当击球点高度为h时，击球速度图9—6为υ时，恰好不会触网，恰好不会出界，其运动轨迹分别如图9—7中的（a）、（b）、（c）所示。图9—7解：（1）根据平抛运动的规律，有：2.5－2.25=gt123=υ1t12.5=gt2212=υ2t2由此解得υ1≈13.4m/sυ2≈17m/s所以，球既不触网又不出界的速度值应为13.4m/s＜υ＜17m/s（2）同样根据平抛运动的规律，有h－2.25=gt123=υt1h=gt2212=υt2由此解得h=2.4m所以，当h＜2.4m时，无论击球速度多大，球总是触网或出界。例5．如图9—8所示，质量为m的小球，用轻软绳系在边长为a的正方形截面木柱的边A处（木柱水平放置，图中画斜线部分为其竖直横截面），软绳长4a质量不计，它所承受的最大拉力为7mg，开始绳呈水平状态。若以图9—8竖直向下的初速度抛出小球，为使绳能绕木柱上，且小球始终沿圆弧运动，最后击中A点，求抛出小球初速度的最大值和最小值（空气阻力不计）。分析：小球依次绕A、B、C、D各点做半径不同的圆周运动，其速率大小可由能量关系确定。解：小球运动到图9—9所示的各位置处时的速率分别记为υi，小球刚运动到和刚要离开图9—9所示的各位置处时线中张力大小分别记为Ti和Ti/，于是由相关规律依次可得mυ02=mυ12－4mga=mυ22－mga=mυ32+mga图9—9=mυ42T1－mg=mυ12/4aT1/－mg=mυ12/3a