习题课基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为()A.43-1B.43+2C.42+1D.6答案A解析∵x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥23(x+1)·4x+1-1=43-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=233-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为43-1.故选A.2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a+1b的最大值为()A.-1B.-32C.-4D.-2答案D解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a+1b(a+b)=-122+ba+ab≤-122+2ba·ab=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b的最大值为-2,故选D.3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则()A.a+b≤2B.a+b≤12C.a+b>2D.1a2+1b2≥4答案AD解析因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2(当且仅当a=b时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b≤2,故A正确;1a2+1b2=a2+b2a2+a2+b2b2=1+b2a2+a2b2+1≥2+2a2b2·b2a2=2+2=4,当且仅当b2a2=a2b2,即a=b时,等号成立,故D正确.故选AD.4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2800km,那么这批物资全部到达灾区最少需要h.答案10解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v2800v=v16h,最后一辆车驶完全程共需要400vh,所以一共需要400v+v16h,由基本不等式,得400v+v16≥2400v·v16=10,故最少需要10h.5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为.答案3解析∵a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b=135+2ba+2ab≥13(5+4)=3,当且仅当2ba=2ab且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab取得最小值3.6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.解x+y=(x+y)ax+by=a+bxy+ayx+b=10+bxy+ayx.因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2ab=18,即ab=4.当且仅当bxy=ayx时,等号成立.又a+b=10,所以a=2,b=8或a=8,b=2.7.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t=130x小时,则y=130x×6×2+x2360+14×130x,50≤x≤100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=3380x+136x,50≤x≤100.(2)y=3380x+136x≥263390,当且仅当3380x=136x,即x=2390时,等号成立.又2390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=338050+136×50=263915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案B解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=13时,等号成立.所以2a+1b的最小值为9,又因为2a+1b≥m恒成立,所以m≤9,即m的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a,b满足a+b=1,则4a1-a+b1-b的最小值是()A.1B.2C.4D.8答案C解析因为正数a,b满足a+b=1,则4a1-a+b1-b=4ab+ba≥24ab·ba=4,当且仅当4ab=ba,即b=2a=23时,等号成立.故4a1-a+b1-b的最小值是4,故选C.10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是()A.14B.12C.1D.2答案B解