活用椭圆定义山东杨道叶椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。例1的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。又∵，∴，即，∴，∴。故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。∴点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。例2椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。又，故满足。∴为直角三角形。评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。练习：1．椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于、两点，则的周长为（）．10．12．16．202．椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（）．7倍．5倍．4倍．3倍答案：1．2．