重庆八中2023—2024学年度（上）半期考试高二年级数学试题命题：刘洪涛李园审核：熊翼打印：李园校对：刘洪涛一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i虚数单位，若复数z满足：，则（）A.B.1C.iD.02.若椭圆的离心率为，则（）A.3或B.C.3或D.或3.“直线与圆相切”是“”的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.已知D，E分别为的边BC，AC的中点，且，，则为（）AB.C.D.5.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（）A.B.C.D.6.如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（）A.cmB.cmC.cmD.cm7.已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为（）A.B.C.D.8.点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（）AB.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（）A.B.C.D.110.椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（）A.为等腰直角三角形B.C的离心率等于C.的面积等于D.直线l的斜率为11.如图，已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则（）A.与是异面直线B.与EF所成角的大小为C.与平面所成角的正弦值为D.二面角的余弦值为12.已知抛物线焦点坐标，圆，直线与C交于A，B两点，与E交于M，N两点（A，M在第一象限），O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A.B.若，则C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.已知向量夹角为，且，，则______．14.直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______．15.过抛物线上的点且与圆有且只有一个公共点的直线有______条．16.贵州榕江“村超”火爆全网，引起旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD为底面圆的两条直径，，且，P为母线SB上一点，．（1）求证：平面PCD；（2）求圆锥SO的体积．18.已知过抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线于..，且．（1）求该抛物线的方程；（2）在抛物线C上求一点D，使得点D到直线的距离最短．19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边BC上，且点D是靠近C的三等分点，．（1）若，的面积为1，求b；（2）求的值．20.如图1，四边形ABCD是梯形，，，点M在AB上，，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上．图1图2（1）若，求证：平面平面；（2）若，平面DNM与平面CDM夹角正弦值为，求值．21.椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．22.已知双曲线的渐近线为，左焦点为F，左顶点M到双曲线E的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线E的左、右支分别交于点C、B，直线FB与双曲线E的左支交于点A，直线FC与双曲线E的右支交于点D．（1）求双曲线E的方程；