张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月张量理论在高等数学课程结束后，了解张量理论是学习现代自然科学的必要条件。讲义经由对张量理论和方法的论述建立现代科学的张量微分工具概念，为学习现代科学技术打好基础。讲义主要内容是:任意坐标系,坐标变换,几何不变量,张量定义,张量运算,张量微分,张量方程,工程应用.掌握讲义中的这些内容能满足阅读理解当代科技文献的要求。但如要深入下去，需要更广泛的阅读。对以应用科学为主的非数学专业本科生，详细讲述数学的张量理论是无必要的。在大多数国外非数学专业本科生（及研究生）教科书中，一般是以附录形式给出教科书中用到的张量（一般地说是2-4个课时）。这有点过于简单化。并且，各自采用不同的张量表达方式，造成一定的混乱。在部分教科书中，将张量等同于矩阵。这种过度简化对阅读理解当代科技文献是有害的。故本讲义寻求一种折衷方案。应当指出的是：在最新的前沿方向科技文献中张量表达方式已经或正在取代传统的微积分表达方式。故，掌握张量理论是进入科技前沿方向的必要条件。第一讲:任意坐标系两个有序点间的连线构成一个矢量。在直角坐标系中，从原点到任一点的连线构成对这个点的矢量表达方式。在物理上，矢量对应于力或位移量，是客观量。作为一个客观量，它是不随观测者的坐标选择而变的。这是爱因斯坦提出的保证物理学基本规律客观性的要求。出于这一原则性，张量表述成为物理学基本规律客观性的基本表达方式。图。1任意矢量的直角坐标表示1张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月在直角坐标表示中，矢量cr可以表示为：rrrrc(OA)=c=XA⋅e1+YA⋅e2（1）rr式中，XA，YA为A点的坐标值。e1为X轴的单位坐标对应的矢量，e2为Y轴的单位坐标对应的矢量。rr按照矢量运算的法则，矢量cr可以分解成二个矢量ar=ar(OB)和b=b(BA)的和，即：rrrc=a+b（2）如果用XB，YB表示B点的坐标值，则有：rrra=XB⋅e1+YB⋅e2（3）rrrb=(XA−XB)⋅e1+(YA−YB)⋅e2（4）将（3）和（4）式代入（2）式就得到：rcr=ar+brrrrrc=[XB⋅e1+YB⋅e2]+[(XA−XB)⋅e1+(YA−YB)⋅e2]（5）rrrc=XA⋅e1+YA⋅e2与（1）式相比，可见（2）式的矢量cr与（1）式的矢量cr是一致性。r取ar和b方向为坐标轴方向，可以定义新的坐标x和y。并定义新的坐标x和y对应的rr单位坐标矢量g1和g2。如图2所示。图。1给定矢量的任意坐标表示在新的坐标系下则有：rrra=a(OB)=a⋅g1（6）rrrb=b(BA)=b⋅g2（7）则给定的矢量cr可在新的坐标系下表示为：2张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月rrrc=a⋅g1+b⋅g2（8）在直角坐标系中，有：rre1⋅e1=1rre2⋅e2=1（9）rre1⋅e2=0将（6）和（7）式与（3）和（4）式相比，得到：1gr=(X⋅er+Y⋅er)（10）1aB1B21gr=[(X−X)⋅er+(Y−Y)⋅er]（11）2bAB1AB2并且有：22rr(XB)+(YB)g11=g1⋅g1=（12）(a)222rr(XA−XB)+(YA−YB)g22=g2⋅g2=（13）(b)2和：X⋅(X−X)+Y⋅(Y−Y)g=g=gr⋅gr=gr⋅gr=BABBAB（14）12211221a⋅b对（1）式的直角坐标表示，有：2rr22(c)=c⋅c=(XA)+(YA)不难验证，对新的坐标系下表示（8），有：222(c)=(a)⋅g11+2a⋅b⋅g22+(b)⋅g22（15）对二种表达方式，cr是不变的。由于B点的选择是任意的，故坐标系(x,y)称为任意系。在任意系(x,y)中，记A点的坐标为xA(=a)，yA(=b)，则（8）式变成为：rrrc=xA⋅g1+yA⋅g2（16）式（15）成为：222(c)=(xA)⋅g11+2xA⋅yA⋅g22+(yA)⋅g22（17）略去下标A，对任一矢量cr，有：rrc=X⋅e1+Y⋅e2rrr（18）c=x⋅g1+y⋅g212二式在形式上是完全一样的，故任一矢量在任意坐标（x,x）下的通用表达方式为：r1r2rc=x⋅g1+x⋅g2（19）12rr物理学上，称：任意坐标（x,x）为逆变坐标，而单位坐标值对应的矢量（g1,g2）就称为协变基矢。逆变坐标和协变基矢一起定义了一个任意坐标系或称一般坐标系。