第一节第二节第三节问题的提出矢量的基本运算坐标变换及张量的定义自然法则与坐标无关,坐标系的引入方便自然法则与坐标无关,分析,但也掩盖了物理本质;分析,但也掩盖了物理本质;坐标系引入后的相关表达式冗长引入张量方法§A-1指标符号x1,x2xn记作xi(i=1,2,n)称为指标;下标符号i称为指标;n为维数可以是下标,指标i可以是下标,如xi也可以是上标,也可以是上标,如xi指标的取值范围如不作说明,均表示从指标的取值范围如不作说明,均表示从1~3定义这类符号系统为指标符号,定义这类符号系统为指标符号,一般采用下标xi(i=1,2,3)～x1,x2,x3～x,y,zui(i=1,2,3)～u1,u2,u3～u,v,wσ11σ12σ13σxτxyτxzσ～τσij(i,j=1,2,3)～21σ22σ23σyτyzyxσ31σ32σ33τzxτzyσz一.若干约定哑标和自由标1.Einstein求和约定求和约定凡在某一项内,重复一次且仅重复一次的凡在某一项内,重复一次且仅重复一次的指标,表示对该指标在它的取值范围内求和,指标,表示对该指标在它的取值范围内求和,并称这样的指标为哑指标哑指标.并称这样的指标为哑指标.如:aixi(i=1,2,n)na1x1+a2x2++anxn=∑i=1aixi又如:又如:σii=σjj=σ11+σ22+σ33=σx+σy+σz123求和约定仅对字母指标有效,求和约定仅对字母指标有效,如σ33=σz重复不止一次的指标,重复不止一次的指标,求和约定失败同一项内二对哑标应使用不同指标,同一项内二对哑标应使用不同指标,如aijxixj=∑i=1∑i=1aijxixj334哑标可以换用不同的字母指标2.求导记号的缩写约定2.求导记号的缩写约定(),j=()xjuiui,j=xj()(),ij=xixj2uk,ijuk=xixj23.自由标3.自由标定义:凡在同一项内不重复出现的指标.定义:凡在同一项内不重复出现的指标.如ajixi=bjj=1j为自由标a11x1+a12x2+a13x3=b11同一个方程中各项自由标必须相同不能改变某一项的自由标,但所有项的不能改变某一项的自由标,自由标可以改变如:2ajixi=bjakixi=bjakixi=bkwrongright二.克罗内克(Kronecker-δ)符号克罗内克()定义:定义1δij=0由定义当i=j当i≠j100δ11δ12δ13I=010=δ21δ22δ23=δij001δ31δ32δ33A1δijAi=δ1jA1+δ2jA2+δ3jA3=A2A3=Ajj=1j=2j=3ds2=dx2+dy2+dz2=dxidxi=δijdxidxj性质:性质:δijδij=δii=δ11+δ22+δ33=3Aδij=A=Ajj=A+A+Aijii112233Aδjk=Aijikδijδjk=δikδijδjkδkl=δilxi=xi,j=δijxjaii=δjkajk§A-2张量的定义和代数运算1.矢量的基本运算矢量a分量aia=a1e1+a2e2+a3e3=aiei基矢量e1e2e3(3个坐标方向的单位矢量)说明1任意矢量可以表示为基矢量的线性组合基矢量不是唯一的2点积1基矢量点积eiej=δij2任意两矢量的点积ab=aieibjej=aibjδij=aibi=ajbj3矢量的基本运算还有叉积,混合积等并矢(并乘)并矢(并乘)定义:定义:ab=aieibjej=aibjeiej展开共9项,展开共项eiej可视为并矢的基aibj为并矢的分解系数或分量2.平面笛卡儿坐标系旋转变换x2'x2'x1x2'x2e2'e2e'1'x1θe1x1x1x2'x2'x1x2'x2e2'e2e1'θ'x1x1e1x1令:αi'j=cos(ei',ej)(i',j=1,2)则:i'jα[]cos(e1',e1)cos(e1',e2)cosθsinθ==cos(e2',e1)cos(e2',e2)sinθcosθx1'α1'1α1'2x1x1()于是:==αi'jxx22'α2'1α2'2x2x1α1