衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题命题人：刘瑶审题人：颜军注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.若集合，则（）A.B.C.D.或2.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A.B.C.D.3.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（）A.B.C.D.4.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布），且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）A.360B.640C.720D.7806.椭圆的左､右焦点分别为为上顶点，若的面积为，则的周长为（）A.8B.7C.6D.57.设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（）A.B.C.D.二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.B.C.向量的夹角为D.在方向上的投影向量是10.设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，则下列选项正确的是（）A.为递减数列B.C.当时，最小D.当时，的最小值为404711.已知函数，则（）A.函数在区间上单调递增B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数的值域为D.方程最多有8个根，且这些根之和为12.已知直线交轴于点，圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与交于点，则（）A.若直线与圆相切，则B.当时，四边形的面积为C.直线经过一定点D.已知点，则为定值三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有__________个.14.曲线在点处的切线与直线垂直，则__________.15.底面为菱形且侧棱底面的四棱柱被一平面花取后得到如图所示的几何体.若.则三棱雃的体积为__________.16.设，平行于轴的直线分别与函数和的图像交于点，若函数的图像上存在点，满足为等边三角形，则__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知的内角的对边分别为，若的面积为且.（1）求角的大小；（2）设为的中点，且，求的长度.18.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为.三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品.（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利元，求的分布列和数学期望.19.在图1中，为等腰直角三角形，为等边三角形，为边的中点，在边上，且，沿将进行折叠，使点运动到点的位置，如图2，连接，使得.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.20.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数，（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设，定义，且记，求数列的前项和.21.已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，点在线段上，且满足，直线的斜率为为坐标原点.（1）求双曲线的方程.（2）过点的直线与双曲线的右支相交于两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22.已知函数.（1）讨论极值点的个数：（2）若恰有三个零点和两个极值点.（i）证明：；（ii）若，且，证明：.参考答案：123456789101112ACDCBCAAACBCBCDACD13.3614.115.16.4.C【详解】因为数列是公差为的等差数列，所以，，所以，若等差数列的公差，则，所以，故充分性成立；若，则，所以，故必要性成立，所以“”是“”的充分必要条件，故选：C.5.B【详解】因为，所以，所以此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为.故选：B6.C【详解】设椭圆的半短轴长为，半焦距为，则的面积由题知，所以，由椭圆的定义知，又，所以的周长为.故选：C.7.A【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上