会计学第一节绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤，当且仅当时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤，当且仅当时，等号成立．二、绝对值不等式的解法1．含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔.(2)|ax＋b|≥c⇔.3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．(课本习题改编)已知2≤a≤3，－3<b<4，则a－|b|的取值范围是()A．(－6,3)B．(－6,3]C．(－6,6)D．(－6,6]解析：∵－3<b<4，∴0≤|b|<4，∴a－|b|∈(－6,3]．答案：B2．不等式(1＋x)(1－|x|)>0的解集是()A．{x|0≤x<1}B．{x|x<0且x≠1}C．{x|－1<x<1}D．{x|x<1且x≠－1}解析：当x<0时，(1＋x)(1＋x)>0，∴x<0且x≠－1，当x≥0时，(1＋x)(1－x)>0，x2<1，－1<x<1，∴0≤x<1，综上所述得x<1且x≠－1，故选D.答案：D3．(2013年青岛模拟)若不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是()A．7B．9C．5D．11解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上可知，f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a≤5即可，从而a的最大值为5.答案：C4．(课本习题改编)f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值为________．解析：∵|2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1，∴f(x)min＝1.答案：15．(2013年西安质检)若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为________．解析：原不等式可化为a－1<x<a＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a＝2.答案：2考向一绝对值不等式的解法[例1](2012年高考课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．///考向二绝对值不等式的证明//考向三绝对值不等式的综合应用[例3]设函数f(x)＝|2x－4|＋1.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．//3．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．解析：(1)当x≤1时，f(x)＝－(x－1)－(x－2)＝－2x＋3，当1<x≤2时，f(x)＝(x－1)－(x－2)＝1，当x>2时，f(x)＝(x－1)＋(x－2)＝2x－3，图象如图所示：【答题模板】含有参数的绝对值不等式【典例】(10分)(2012年高考辽宁卷)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；【思路导析】(1)利用绝对值不等式的公式求解，注意分类讨论思想的应用；(2)构造函数，转化为函数最值问题．【规范解答】(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.………………1分又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意.……………………………………………………………………3分【名师点评】解含有参数的绝对值不等式时，以下几点在备考时要高度关注：(1)要准确、熟练地利用绝对值的定义或公式法、平方法、几何意义法、零点分段讨论法等去掉绝对