专题20相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4）共边模型条件:如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，ADBDCB，结论：BD2BABC；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在VABC中，D是AB边上的点，BACD，AC:AB1:2，则VADC与△ACB的周长比是（）A．1:2B．1:2C．1:3D．1:4【答案】BACADCD1ACADCD1【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．ABACBC2ABACBC2ACADCD【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，ABACBCAC1ACADCD1ACADCDACADCD1∵，∴，∴，AB2ABACBC2ABACBCABACBC2∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．AD例2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝ACAC．AB（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出VACDVABC（2）由VACDVABC得ADCACB90，ACDB，推出VACD:VCBD，由相似三角形的性质得CDBD，即可求出CD的长．ADCDADAC【详解】（1）∵，AA，∴VACDVABC；ACAB（2）∵VACDVABC，∴ADCACB90，ACDB，∴CDB1809090ACD，∴VACD:VCBD，CDBD∴，即CD2ADBD326，∴CD6．ADCD【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt△ABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高．(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB6，BC10，求BD的长．18【答案】(1)见解析(2)BD5【分析】（1）根据三角形高的定义得出ADB90，根据等角的余角相等，得出BADC，结合公共角BB，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解