序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法成都市龙泉驿区教育局教研室王富英（610100）复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理（判定定理）：若都是单调函数，则n次复合函数在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是中减函数的个数为奇数。下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。已知，若，求函数的单调区间。（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2,则，故是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R。当即或时，；当即时，；当时，；当时，。将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。如（图1）：：：-101（图1）由图1可知，的递增区间为，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+。这种求复合函数单调区间的方法我们称之为“序轴法”，其一般的解题步骤为：求复合函数的定义域，并把各层函数分解出来；求出各层函数单调区间及对应的在复合函数定义域内自变量x的取值区间；由各层函数单调区间的端点值，把复合函数的定义域分成若干部分，并在序轴上标出；将各层函数的增减性用升、降箭头在序轴上相应区间的上方标出；由复合函数单调性的判定定理，在每个区间的下方，用升、降箭头标出单调性，从而得出复合函数的单调区间。这种方法已近程序化，层次清楚，操作方便，简便易行，且不容易出错。特别是对于由多个函数复合而成的复合函数则更为简捷。我们再举一例：例2、求函数的单调区间。解：因为，故令y(u)=,则是由三个函数复合而成的，其定义域为实数集R。当即或或时，；当时，即<x<-1,或时，；当即时，；当即或时，；当时，；当时，。把及各层函数的单调性用箭头在序轴上标出(如图2)：y(u)u(t)t(x)f(x)-101（图2）∴f(x)的单调递减区间为：;单调递增区间为：。参考文献：王富英马晓容《复合函数的单调性》，《中学教研》（数学）1996年第12期。注：此文已在《中学数学》2002年第9期发表