空间向量的有关概念和公式概念空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。坐标表示，,．运算则，，，，定比分点公式设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，，，（）中点公式：，，三角形重心公式：，，模，，则==；=；=;=平行，（或==）垂直．（）夹角cos==●建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻边为轴，轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为轴，轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为轴，轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为轴。空间向量的应用（1）方法分类图形1、求平面的法向量若，，是平面的法向量，则（取，得到其中的一组解：而常取简单整数）nCBAα2、证明线面平行设是平面的法向量，，则：nBAα3、证明面面垂直设分别是平面的法向量,则：n2-11111n1-11111βα4、求两条异面直线间的距离先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设、是异面直线，是、的公共法向量，点，则异面直线、之间的距离OPaFbEαn5、求点到平面的距离设为平面外一点，点为平面内的任一点，平面的法向量为，过点作平面的垂线，记，则点到平面的距离：因此，点到平面的距离：nPθOAα空间向量的应用（2）方法图形6、求直线和直线所成的角若直线所成的角是，ADBCα7、求直线和平面所成的角已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结，则为斜线和平面所成的角，记为，易得nθPOAα8、已知两平面的法向量,求二面角的大小在二面角中，和分别为平面和的法向量，若二面角的大小为，则：(依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定是锐角或是钝角)n2n1n1θβα8、已知二面角棱的两垂线,求二面角的大小在二面角内，，设为二面角的大小，则：ιβACDBα例题：1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)(2)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1＝(0,-2,2)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝(0,1,2)∴|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|＝2EQ\R(2)，|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|＝EQ\R(5)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝0－2＋4＝2,∴cosEQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝EQ\F(EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1,|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|·|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|)＝EQ\F(2,2\r(2)×\r(5))＝EQ\F(\r(10),10)．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为EQ\F(\r(10),10)．2、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知CA⊥平面ABB1A1，AB＝AA1＝1.(1)求证：A1B⊥平面AB1C；(2)若AC＝2，求点A到平面BB1C1C的距离；(3)若二面角B－B1C－A为600，求AC的长.（1）证：A1B⊥平面AB1C（2）解：∵平面ABC⊥平面BB1C1C，∴点A到平面BB1C1C的距离即为A到BC的距离，作AD⊥BC，BC＝，∴A到平面BB1C1C的距离AD＝＝＝（3）解：（空间向量法）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-BA1C，则B（1，0，0），B1（1，1，0），C（0，0，c），平面AB1C法向量＝（—1，1，0），平面BB1C法向量＝（x，y，z），=（0，1，0）,=（—1，0，c）,∴,∴令z=1,则x＝c，∴＝（c，0，1），Cos600＝＝＝，∴＝，，解得c＝1，所以AC长为1。