第三章结构动力学基础结构分析模型分布参数模型有限元模型集中质量模型动力自由度结构运动方程偏微分方程常微分方程差分方程积分微分方程频域运动方程运动方程的建立牛顿第二运动定律直接平衡法虚位移原理哈密尔顿原理刚度矩阵简单模型的刚度矩阵有限元模型的刚度矩阵质量矩阵集中质量矩阵一致质量矩阵阻尼矩阵单自由度体系的阻尼自由振动单自由度体系的阻尼强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动运动方程求解方法杜哈梅积分傅氏变换法振型叠加法逐步积分法线性加速度法纽马克法威尔逊-法阻尼理论由于阻尼机制的复杂性以及在振动过程中直接测量阻尼力的困难，长期以来，人们只能借助阻尼效应的实测结果，在某种假定的机理下对阻尼进行定量描述，并未形成系统严格的阻尼理论。有关阻尼物理机制的经典研究涉及干摩擦和内摩擦两种。干摩擦的研究结果以库伦摩擦理论为代表；内摩擦亦称粘滞摩擦，研究结果表述为粘滞阻尼理论。实际上，振动体系的耗能机制还包括材料塑性变形、断裂乃至超弹性和相变等，并非库伦摩擦和粘性所能概括。一些文献认为，阻尼可以分为内阻尼和外阻尼两类，内阻尼是因结构材料的内摩擦和构件之间的干摩擦造成的振动能量耗损；外阻尼则是所研究的振动体系在与外部介质（土、空气、水、电场和磁场）相互作用中发生的能量耗散（如辐射阻尼）。然而，内阻尼和外阻尼并没有严格的界限。例如，上述内阻尼也可理解为振动能量转化为热能并向外界温度场的扩散。若将研究对象局限于地面结构自身，则结构振动能量向地基的扩散可视为外阻尼；但研究对象若为土-结相互作用体系，上述阻尼效应则属体系内的能量传递。结构弹性地震反应的阻尼理论主要涉及常系数粘滞阻尼、频率相关粘滞阻尼和复阻尼。常系数粘滞阻尼频率相关的粘滞阻尼复阻尼正交阻尼一些文献中，具有粘滞耗能机理假定的阻尼又被称为经典阻尼。就阻尼与其他结构动力参数（如刚度、质量）的关系着眼，瑞利阻尼、柯西阻尼和复阻尼等都是比例阻尼（proportionaldamping），在动力体系分析中，亦有更简单的比例阻尼形式。例如，由刚度矩阵乘以某个常数构成的阻尼矩阵称为刚度比例阻尼矩阵，由质量矩阵乘以某个常数构成的阻尼矩阵称为质量比例阻尼矩阵。严格地讲，结构体系的比例阻尼矩阵只有在系统质量和刚度分布均匀、结构各部分由相同材料构成、耗能特性无明显差别的情况下才适用。不满足这些条件的结构体系，如土-结相互作用体系，隔震和消能减振体系等，必须应用非比例阻尼矩阵描述耗能特性。非比例阻尼矩阵可由叠加动力特性不同的子结构的阻尼矩阵形成。瑞利阻尼考西阻尼阻尼比动力体系的粘滞阻尼系数不能由结构材料和构件尺寸确定，但弹性体系的振型阻尼比可利用自由振动试验或强迫振动试验得出。试验表明，由同一材料构成的结构体系，不论结构尺寸和形状如何，振型阻尼比通常并不随振动频率呈有规律的变化，在小弹性变形条件下，阻尼比数值远小于1，且变动范围不大；钢筋混凝土结构的阻尼比大约不超过2%～5%，钢结构的阻尼比不超过1%～2%。根据阻尼比的实测结果，可以方便地利用振型叠加法或振型叠加反应谱法计算弹性体系的动力反应；亦可构成瑞利阻尼等比例阻尼矩阵，利用逐步积分法求解运动方程。某些材料的粘滞阻尼可能具有频率相关特性，但大量建筑结构的试验结果表明，阻尼比并不具有明确的频率相关特性；以某种材料制成的结构，无论尺寸和形状如何，其阻尼比在线弹性和弱非线性动力状态下均有较为稳定的数值范围，故阻尼比在工程应用中可与材料相联系。辐射阻尼辐射阻尼的数值模拟可采用土-结相互作用模型，土-结相互作用模型含有限元模型、子结构模型和集中参数模型等多种。若在现场通过实测方法确定结构的阻尼比，因现场实际结构是包含的土-结相互作用效应，故阻尼比的测量结果也将包含辐射阻尼的影响。阻尼理论是不完善的理论。粘滞阻尼是弹性结构动力分析中常用的阻尼形式。复阻尼以复数形式描述能量耗散，本质上是频率相关的粘性阻尼。采用复阻尼的运动方程虽然形式简洁，但复数运算不便、且求解复数运动方程的理论复杂，故在实际地震反应分析中使用不多。塑性变形耗能结构振动控制中应用的各类阻尼器具有不同的耗能机制，如磨擦耗能机制、粘性耗能机制、弹塑性耗能机制、超弹性耗能机制等，必须针对不同阻尼器进行具体分析。等效阻尼是工程结构动力分析中经常使用的概念和方法。等效意为不区分阻尼物理机制，仅从阻尼效应相同的角度，将能量耗散表述为某种阻尼（多为粘滞阻尼）予以定量。等效阻尼既用于结构体系的弹性振动，亦可用于非线弹性振动、乃至能量向体系外的传播和扩散。