第8章最优消费和投资：离散时间基本分析框架目标函数约束条件最优消费/投资决策：离散时间所谓随机最优控制，就是试图在一个由随机因素驱动的成长路径上，通过采用适当的策略来最优化目标函数。这里的消费多少和如何投资，就是由投资者决定的控制变量（controlledvariable）或者说决策（decision），通过一系列遵循某种原则的最优的决策，即最优策略（policy），个人可以得到最大的效用满足。这里的原则，指的就是贝尔曼（BellmanR.）最优化原则（principleofoptimality）：“一个最优策略有这样的特征：无论初始状态和初始决策是什么，余下的决策在考虑到第一个决策导致的状态的影响下，都必须是最优的策略。”简单地说，这就意味着任何最优过程的最后一段过程必定是最优的。这一原则将在后面的分析中一再的出现。简化的例子股票价格运动的二项树模型（3）投资者的非资本收入为0，效用函数具有以下特定形式：U(x)=（4）为了简化分析，假定投资者也不进行任何消费，这样最优决策的惟一目标就是最大化他来自最终财富的期望效用。目前的任务就是找到最优的投资决策变量（最优控制）w(0)和w(1)，使以上最优化问题得以解决。模型求解一般情形基于上面的假定，最优消费和投资问题为：根据动态规划原则，从倒数第一期开始解，这样它就变成了熟悉的单期问题：如果用T-1期的价值函数（2-6）式对W做微分（使用连锁法则和导数基本运算法则），就有：特殊形式的效用函数:对数效用函数注意上面的T-1是指T-1到T这一个时间段；而且以上W、w*和C*均为T-1时期的数值，化简得结论2：最优资产组合比例：根据（2-7）式提供的第二个一阶最优条件，把函数的具体形式代入，就有：为了决定再早一期的最优策略，还必须知道价值函数J[W(T-1)]。这可以通过对包络条件：由（2-5）式得：证明：假定第t+1期的价值函数采用下面的形式：它表明F(t)通过F(t+1)而依赖于未来投资机会集，但是它并不影响最优资产组合。因为最优资产组合仅仅取决于JW，而JW却不受F的影响。根据t时期的第二个一阶条件可以得到最优资产组合：特殊形式的效用函数:幂效用函数结论1：容易发现在指数效用函数这样一个特例中，消费水平是依赖于投资机会集合的。结论2：资产组合方面，根据第二个一阶条件，可得：9、静夜四无邻，荒居旧业贫。。3月-253月-25Thursday,March6,202510、雨中黄叶树，灯下白头人。。19:40:0619:40:0619:403/6/20257:40:06PM11、以我独沈久，愧君相见频。。3月-2519:40:0619:40Mar-2506-Mar-2512、故人江海别，几度隔山川。。19:40:0619:40:0619:40Thursday,March6,202513、乍见翻疑梦，相悲各问年。。3月-253月-2519:40:0619:40:06March6,202514、他乡生白发，旧国见青山。。06三月2025下午7时40分6秒19:40:063月-2515、比不了得就不比，得不到的就不要。。。三月25下午7时40分3月-2519:40March6,202516、行动出成果，工作出财富。。2025年3月6日星期四7时40分6秒19:40:0606March202517、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。。下午7时40分6秒下午7时40分19:40:063月-259、没有失败，只有暂时停止成功！。3月-253月-25Thursday,March6,202510、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。19:40:0619:40:0619:403/6/20257:40:06PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。3月-2519:40:0619:40Mar-2506-Mar-2512、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。19:40:0619:40:0619:40Thursday,March6,202513、不知香积寺，数里入云峰。。3月-253月-2519:40:0619:40:06March6,202514、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。06三月2025下午7时40分6秒19:40:063月-2515、楚塞三湘接，荆门九派通。。。三月25下午7时40分3月-2519:40March6,202516、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。。2025年3月6日星期四7时40分6秒19:40:0606March202517、空山新雨后，天气晚来秋。。下午7时40分6秒下午7时40分19:40:063月-259、杨柳散和风，青