北京科技大学数学竞赛试题解答2010一.选择题（每小题2分，共20分）1.设函数f()x和gx()均可导，且f()x<gx()，则必有______.A.fx′′()<−gx()B.(fx)>g(−x)xxf()tdtg()tdt∫∫xxC.limxx00<limD.∫∫f()tdt<∀g()tdtxxx→→00xx−−xxxx00xx00答案：C.对C.运用洛比达法则112.设函数f(xfxfxf)满足()=(+=−2),(0),又在(1,1)有fxx′()=||81则f(3)=________.2⎧11xx2+<<01⎪fx()=28⎨11⎪−+−<≤xx210⎩⎪2813311ff(3)=(2+=)fff()=(2-)=(-)=0222221∞sin(x+)3.积分Id=xx条件收敛的充要条件是_____.∫α0xAαα∈∈(0,1)；；；B(0,2)Cα∈(0,3)Dα∈(0,1.5)21∞1令III=++=,显然当α≤0时，I发散。做变换x=,∫∫12201t易知当αα≥<20时，I1发散。所以只考虑<2。11∞∞1(1−+2)sin(x)将写成IId==xxxI+=+,I∫∫1∫1200xα(1−)1x2AA1111其中|(1)sin()||sin()()|−+=++xdxxdx∫∫211xxxx1=|cos2-cos(AA+≤)|2,关于>1有界.A11当时，x→∞=→0.xxαα(1−−11)xx22−α3由Dirichlet判别法知，当0<<α2,I2收敛.1作变换x=,类似可知，I收敛，t1故I在(0,2)收敛。下证I在α∈(0,2)非绝对收敛。事实上，因为111sin(xx++)sin22()cos(x+)1||xx≥=−x，xxxxαααα22分别对αα∈∈(0,)和11(,2)讨论。所以I条件收敛⇔α∈(0,2)4334.在[0,π]上方程sin3xxaacos=>()的实根个数是_________.16令fx()=−=−sin32xcosxafx,′()sinx(34sin2x),ππππππ222x0(0,)(,)(,)ππ333333fx′()0+−00+03333fx()-a递增-a递减--a递增-a161633πππ2当0,()(<<afx在0)()，和，内各有一个实根；163333333当afx=,()仅有一个实根；当afx>,()无实根；16165如果级数收敛，级数绝对收敛，则5.∑∑abnn∑anbn_____.nn==00n=0A条件收敛；B绝对收敛；C发散；D不确定aann收敛⇒=lim0,所以存在MaM>0,使得|n|≤.∑n→∞n=0因为而绝对收敛，所以绝对收敛||abnn≤M∑∑bnabnnnn==00nα6.若，lim=2010则αβ==？，？n→0nnββ−−(1)nnαα−−βnαβ因为==≠，由条件知β0nnββ−−(1)1(1−−11)ββn1(1−−+o())nn⎧∞−+>αβ10⎪12009原式=11αβ−+=0,==所以β，α-⎨β⎪20102010⎩⎪010αβ−+<6x⎧tf()tdt⎪∫0，其中具有连续的设2xfx≠0()7.Fx()=⎨x⎪⎩0x=0,导数且fFxx(0)=0,则′()在=0处____.A连续；B不连续；C可导;D不确定答案A，运用洛比达法则xdydz+ydzdx+zdxdy8.曲面积分=（），其中∫∫2223S+()xyz++zx(2)(1)−−22ySz+是的1(−=+≥0)上侧.725167用Γ表示以原点为中心，r为半径的上半球面，Γ内表示Γ的内侧，取rS充分小使ΓΣ在之内部。记为(2)(1)xy−−22平面上，xyr222+≥,1+≤的部分。2516ΣΣ下表示的下侧，Q表示S与之所围成的区域。则I--0-+==∫∫∫∫∫∫∫∫∫dxdydz∫∫∫∫+S+Γ内+Σ下ΣΓ下下内外QΓΓ又因为ΣΣ在yz与zx平面的投影面积为00且在上z=所以∫∫=0Σ下81所以I,==xdydz+ydzdx+zdxdy记xy平面上，∫∫r3∫∫ΓΓ外外x222+≤yr的部分下侧为Ω，此时xdydz+ydzdx+zdxdy=0，下∫∫Ω下11所以I==++xdydzydzdxzdxdy3dxdydz=2π33∫∫∫∫∫rr2222ΓΩ外+下xyzrz++≤,0≥9().设函数fuz具有