2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答（1）计算积分解方法一直接利用分部积分法得；方法二不妨设，由于，而积分关于在上一致收敛，故可交换积分次序；方法三将固定，记，可证在上收敛．设因为，而收敛，所以由Weierstrass判别法知道对一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，即．由的任意性，上式在上成立．所以，由于所以，即．若关于的方程，在区间内有唯一的实数解，求常数.解：设，则有，当时，；当时，.由此在处达到最小值，又在内有唯一的零点，必有，，，，所以.设函数在区间上连续，由积分中值公式，有，，若导数存在且非零，求.解：，，由条件，可知，，故有.二、设函数在附近可微，，,定义数列.证明：有极限并求其值.证明：由导数的定义，对于任意,存在，当时，有.于是，从而，当时，有，，其中.对于上式求和，得到，即，令，有,由的任意性，得到.设在上有定义，在处可导，且.证明：.三、设函数在上一致连续，且对任何，有，证明：。试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。证明证法一由在上一致连续，对，，当且时，便有；取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。对于任意，；从而必有，使得；由条件对每个，有；于是存在，当时，，对都成立；故当时，便有，即得，结论得证。证法二设,由题设条件知在上等度一致连续,对每一,有;利用Osgood定理得,在上一致收敛于0,对,存在，当时,有,,从而当时,有,即得，结论得证。设在上的连续，且对任何，有，但推不出。例如函数满足在上的连续，且对任何，有，但不成立。四、设，在内连续，在内连续有界，且满足条件：当时，；在中与有二阶偏导数，，.证明：在内处处成立.证明：设，则有.于是，，;由已知条件，存在，当时，有，.记，设，我们断言，必有，假若，则必有，使得；易知，.这与矛盾，所以从而，；由的任意性，得，.故在内处处成立.五、设.考虑积分，，定义，证明；利用变量替换：，计算积分的值，并由此推出.证明：（1）由，在上一致收敛，可以进行逐项积分，又，所以关于是一致收敛的，可以逐项求极限，于是有.故有；,,注意到区域关于轴对称;;;或者利用分部积分,得,于是,故.2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答一、计算题求极限解法1直接化为黎曼和的形式有困难.注意到,,由于，所以.解法2利用，得，,由于，，所以.（2）计算，其中为下半球的上侧，.解法一.先以代入被积函数，，补一块有向平面，其法向量与轴正向相反，利用高斯公式，从而得到，其中为围成的空间区域，为上的平面区域，于是.解法二.直接分块积分，其中为平面上的半圆，.利用极坐标，得，，其中为平面上的圆域，，用极坐标，得，因此.（3）现要设计一个容积为的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？解：设圆柱体的高为，底面直径为，费用为，根据题意，可知，，当且仅当时，等号成立，，故当时，所需要的费用最少.（4）已知在内满足求.解：，，所以，.求下列极限.（1）；（2），其中，，.解：（1）.，，故.一般地，有，其中，，.设在点附近有定义，且在点可导，，，求.解：.设在上连续，无穷积分收敛，求.解：设，由条件知，，，利用分部积分，得，，，于是.设函数在上连续，在内可微，且，.证明：（1）存在，使得；（2）对于每一，存在，使得.证明：（1）令，由题设条件，可知，；利用连续函数的介值定理，得存在，使得，即.令，由题设条件和（1）中的结果，可知，，；利用罗尔中值定理，得存在，使得，由，即得.六、试证：对每一个整数，成立.分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.证明：显然时，不等式成立；下设.由于，这样问题等价于证明，即，令上式化为，从而等价于，只要证明，设，则只要证明，，就有，，则问题得证.以下证明，，成立上式等价于，即，令，则，并且对，有，从而当时，，这样问题得证.注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.六、设为整数，，证明方程，在上至少有一个根.证