第三届大学生数学竞赛初赛试题解答（2011.10）计算题（每小题6分，共4个小题）1、解答：因为2、设解答：若这时，3、求解答：4、求幂级数解答：令，则它的定义区间为，于是，。（每题8分，共16分）设为数列，为有限数，求证：如果，则如果存在正整数，使得，则解答：1、由于，所以对于，由，知，从而，而，所以由，知从而，，使得，所以，三、（15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且，求证：在开区间（-1,1）内至少存在一点，使得解答：由迈克劳林公式，得在上式中分别取两式相减，得由于在闭区间上连续，因此在闭区间上有最大值最小值，从而再由连续函数的介值定理，至少存在一点，使得四、（15分）在平面上，有一条从点向右的射线，线密度为，在点处（其中）有一质量为的质点，求射线对该质点的引力.解:在轴的处取一小段,其质量是,到质点的距离为,这一小段与质点的引力是(其中为引力常数).这个引力在水平方向的分量为.从而.而在竖直方向上的分量为,故.所求引力向量为.五、（15分）设是由方程确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，且求证和.证:对方程两边求导,,.由此解得,,所以.将上式再求导,,,相加得到.六、（15分）设函数连续,、、为常数,是单位球面.记第一型曲面积分.求证.证:由的面积为可见,当、、都为零时,等式成立.当它们不全为零时,可知原点到平面的距离是.设平面:,其中固定.则是原点到平面的距离,从而.两平面和截单位球的截下的部分上,被积函数取值为.这部分摊开可以看成一个细长条,这个细长条的长是,宽是,它的面积是.故得证.