，第页数学分析测验2008.3.7学院班级学号姓名题号一二三四五总分满分2020202020100得分一、(20)已知向量()与向量正交.求向量的模以及它与坐标轴之间的夹角.解依条件有，故，于是，因此……(5分)；……(10分)，，.……(20分)说明计算的值5分.二、(20分)设向量，，其中，，.求和以，为邻边的平行四边形的面积.解由，……(5分)及，有.……(10分)又，……(15分)于是以，为邻边的平行四边形的面积为.……(20分)说明若计算错误，则与中任意一个正确就给5分.三、(20分)设有直线与.试验证与是异面直线；求与和都垂直且相交的直线(即公垂线)的方程.解(1)和的方向向量分别为,,又分别过和,.因为,所以与是异面直线.………(5分)(2)公垂线的方向向量.………(10分)方法一与决定的平面的法向量,又因为,由点法式得的方程.………(15分)与的交点即为与的交点.将的参数方程,,代入的方程,解得,所以交点为.因此公垂线方程为.………(20分)方法二同方法一求出的方程.………(15分)与决定的平面的法向量,又因为,由点法式得的方程.因此公垂线方程为.………(20分)四、(20分)已知点、，在直线上求一点，使得的面积最小.解设点的坐标为,则………(5分)………(10分)故,.………(15分)由于面积最小等价于最小,从而当时,的面积最小,此时点的坐标为,且………(20分)说明最小面积值未计算不扣分.五、(20分)已知过点与的直线绕轴旋转所得的曲面为，求与平面，所围几何体的体积.解直线的方程为，即.………(5分)直线上坐标为的点到轴的距离为.………(10分)用为常数的平面截几何体所得截面(圆)面积为，………(15分)于是所求体积为.………(20分)说明求出绕轴旋转所得旋转面的方程也给10分.