关于无限群的一个性质与两个猜想的中期报告无限群是指其元素数量无限多的群。本报告将介绍无限群的一个性质和两个猜想的研究进展情况。一、性质：无限群中存在无限多个子群在有限群中，子群的数量是有限的，而在无限群中，子群的数量可以是无限的。例如，对于任意一个有限集合，可以定义一个置换群，其含有的元素数量是有限的，而对于任意一个无限集合，同样可以定义一个置换群，其含有的元素数量是无限的。而对于一个无限群，根据Lagrange定理，其所有子群的阶都必须是其阶的约数，因此存在无限多个阶数不一样的子群。举个例子，整数集合Z上的加法群(Z,+)就存在无限多个子群，比如偶数构成的子群2Z，奇数构成的子群2Z+1等等。二、猜想1：所有无限循环群都同构于整数加法群一个无限循环群可以由一个元素生成，其元素形如{a^n|n∈Z}，其中a是该群的生成元。因为群中的元素无限个，因此生成元a也不可能是有限阶元素。我们猜想任何一个无限循环群都同构于整数加法群(Z,+)。即存在一个双射满足以下条件：f(a^n)=nf(n)=a^n其中f是一个双射。这个猜想的意义在于，如果证明了这个猜想，那么我们就可以把所有无限循环群统一成同构于整数加法群，而不需要关注它们之间的细节差异。至今为止，该猜想还未被证明或者推翻。但是已经有一些研究者在给出了一些与该猜想相关的结论。例如，Schreier在1930年证明了，任意两个无限循环群之间都同构于整数加法群或者正有理数乘法群。而最近的一些研究者也尝试用数学工具来证明这个猜想，比如借助代数几何的方法来描述无限循环群，但是目前还没有产生实质性的进展。三、猜想2：不存在并且不能构造无限简单群无限简单群是指既是无限群又是简单群的群。群G是一个简单群，意味着G中不存在非平凡的、充分小的、规范的子群。对于有限简单群，这是很自然的概念，因为在有限群中，子群有限，因此可以使用同构群定理构造出所有的有限简单群。然而，在无限群中，子群的数量是无限的，简单性更加复杂，因此无限简单群是否存在以及如何构造它们是一个非常重要的问题。一个可能的结论是，不存在并且不能构造无限简单群。然而，这个结论还没有被证明也没有被推翻。目前已知的四个无限简单群是：自由群F(R)上的自由群F(F(R))自由群F(R)上的自由群(F(F(R)))'整数环Z上的奇异群线性群SL(n,Z)(n≥3)线性群SL(n,Z)是唯一一个有向图群，它是用一个有向图所联系的群，而其它三个群都是通过与自由群的嵌入来描述的。猜想2的真假依旧未知，然而其中引发的一系列问题和探索已经推动了群论领域的发展。总结：本报告介绍了无限群中存在无限多个子群这一性质以及猜想1：所有无限循环群都同构于整数加法群，猜想2：不存在并且不能构造无限简单群这两个猜想的研究进展情况。虽然这两个猜想的真假依旧未知，但是它们引发的一系列问题和探索已经推动了群论领域的发展。