2017中考数学专题训练(六)直角三角形的应用解直角三角形的应用是中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．类型1仰角、俯角问题【例1】(2016宜宾中考)如图，CD是一高为4m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3m到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)【解析】作CF⊥AB于点F，构造Rt△求解．【学生解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF＝xm，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝eq\f(AF,CF)，则CF＝eq\f(AF,tan∠ACF)＝eq\f(x,tanα)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x，在Rt△ABE中，AB＝x＋BF＝(4＋x)m，在Rt△ABE中，tan∠AEB＝eq\f(AB,BE)，则BE＝eq\f(AB,tan∠AEB)＝eq\f(x＋4,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)(x＋4)m.∵CF－BE＝DE，即eq\r(3)x－eq\f(\r(3),3)(x＋4)＝3.解得x＝eq\f(3\r(3)＋4,2).则AB＝eq\f(3\r(3)＋4,2)＋4＝eq\f(3\r(3)＋12,2)(m)．答：树高AB是eq\f(3\r(3)＋12,2)m.针对练习1．(2016茂名中考)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4m.(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)(2)求旗杆CD的高度．解：(1)∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ADB中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4m，∴AD＝eq\f(AB,tan∠ADB)＝eq\f(4,tan30°)＝4eq\r(3)(m)．答：教学楼与旗杆的水平距离是4eq\r(3)m；(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4eq\r(3)m，∴CD＝AD·tan60°＝4eq\r(3)×eq\r(3)＝12(m)．答：旗杆CD的高度是12m.2．(2016泸州中考)如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60eq\r(3)m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶eq\r(3)的斜坡DB前进30m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈eq\f(4,3)，计算结果用根号表示，不取近似值)解：如图，作BN⊥CD于点N，BM⊥AC于点M.在Rt△BDN中，BD＝30，BN∶ND＝1∶eq\r(3)，∴BN＝15，DN＝15eq\r(3)，∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM＝BM＝15，BM＝CN＝60eq\r(3)－15eq\r(3)＝45eq\r(3)，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝eq\f(AM,BM)＝eq\f(4,3)，∴AM＝60eq\r(3)，∴AC＝AM＋CM＝60eq\r(3)＋15.类型2方位角问题【例2】(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：eq\r(3)≈1.732，结果精确到0.1)【学生解答】解：如图，作AC⊥PC于点C，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝20，在Rt△APC中，∵cos∠APC＝eq\f(PC,AP)，∴PC＝20·cos60°＝10，∴AC＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3)，在Rt△PBC中，∵∠BPC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC＝PC＝10，∴AB＝AC－BC＝10eq\r(3)－10≈7.3(海里)．答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．针对练习3．(2016眉山中考)如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出